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数值分析大作业 二

姓名：苗某某 单位：航天五院502所

算法设计方案

本次大作业主要涉及到的算法有：

矩阵A的拟上三角化；

矩阵A的QR分解；

带双步位移QR分解求解矩阵A的全部特征值；

列主元高斯消去法求解线性方程组。

其中，列主元高斯消去法用于求解实特征值所对应的特征向量。算法的具体应用和算法描述如下。

求矩阵A的拟上三角化矩阵A（n-1）

矩阵A的拟上三角化算法步骤如下：

记
，并记
的第r列到第n列元素为
。

对于
执行如下算法：

若
全为零，则令
，转(5)；否则转(2)。

计算

令

计算

继续

当此算法执行完后，就得到矩阵A的拟上三角化矩阵A（n-1）

A(n-1)的QR分解以求Q、R、RQ

记
，并记
。

对于
执行

(1) 若
全为零，则令
，转(5)；否则转(2)；

(2) 计算

(3) 令

(4)计算

(5)继续

经过上述运算之后，就得到
和上三角矩阵

然后利用
和
相乘可计算
。

求矩阵A的全部特征值Lamta(i)

（1） 调用矩阵A拟上三角化算法得到的拟上三角矩阵
，给定精度水平
和迭代的最大次数100；

（2） 记
，令k=1，m=10;

（3） 判断是否
，是，则
为特征值，m=m-1，goto（4），否则goto（5）;

（4） 如果m=1，则
为特征值，goto（10）；若m=0，goto（10）；如果m>1，goto（3）;

(5) 如果m=2，则得到A的两个特征值
和
, 即右下角二阶子阵对应的特征方程
的两个根，goto（11）;否则goto（6）;

（6） 如果
，则得到A的两个特征值两个特征值
和
，即右下角二阶子阵对应的特征方程
的两个根，令m=m-2，goto（4）;否则goto（7）;

（7）如果k>100，则求解失败，程序退出;否则goto（8）;

（8）记
计算

调用QR分解算法对
进行QR分解得到矩阵Q；

Ak+1 = QkTAkQk

（9）置k=k+1,goto（3）;

（10）A的所有特征值已经计算完毕，停止计算。

此算法执行完后即求得矩阵A的所有特征值。

求矩阵A相应实特征值的特征向量

利用列主元高斯消去法求解Lamta(i)所对应的特征向量，需要注意的地方是，由于特征向量为非0向量，所以求解回带过程时取x10 = 1。

1. 消元过程

(1)选行号
，使
。

(2)交换
与
。

(3)对于
计算

2. 回代过程

x10 = 1

经过上述过程解线性方程组
所得的解向量
即为对应于特征值Lamta(i)的特征向量。

源程序：

#include

#include

#include

#define DIMENSION 10

#define Failure 0

#define Success 1

#define Standard 1

#define Ephasilong pow(10,12)

#define CompareTimes 100

void intialMatrixA(double A[DIMENSION][DIMENSION]);

void intialMatrix_Lamta(double Lamta[DIMENSION][2]);

void printMatrix(double matrix[DIMENSION][DIMENSION]);

void printEigenValue(double Lamta[DIMENSION][2]);

void intialMatrixQ_toUnitE(double Q[DIMENSION][DIMENSION]);

void intialMatrixR_toZero(double R[DIMENSION][DIMENSION]);

//拟上三角化子程序

int allIsZero(double A[DIMENSION][DIMENSION], int rowStartIndex,

int rowEndIndex, int clomn);

double caculate_dr(double A[DIMENSION][DIMENSION],

int rowStart, int rowEnd, int clomn);

int sgn(double a);

void getArray_U(double A[DIMENSION][DIMENSION], double U[DIMENSION],

double c, int index);

void getArray_P_Q(double A[DIMENSION][DIMENSION], double U[DIMENSION],

double h, double P[DIMENSION], double Q[DIMENSION]);

double get_T(double P[DIMENSION], double U[DIMENSION], double h);

void getArray_W(double Q[DIMENSION], double t,

double U[DIMENSION], double W[DIMENSION]);

void getMatrixA(double A[DIMENSION][DIMENSION], double W[DIMENSION],

double U[DIMENSION], double P[DIMENSION]);

void simulateUpTriangel(double A[DIMENSION][DIMENSION]);

//QR分解法所用子程序

void getArray_QR_U(double A[DIMENSION][DIMENSION], double U[DIMENSION],

double c, int index, int M_Dimension);

void getArray_Omega(double Q[DIMENSION][DIMENSION], double U[DIMENSION],

double Omega[DIMENSION], int M_Dimension);

void getArray_Q(double Q[DIMENSION][DIMENSION], double Omega[DIMENSION],

double U[DIMENSION], double h, int M_Dimension);

void getArray_P(double A[DIMENSION][DIMENSION], double U[DIMENSION], double h,

double P[DIMENSION], int M_Dimension);

void getMatrixAr(double A[DIMENSION][DIMENSION], double U[DIMENSION],

double P[DIMENSION], int M_Dimension);

void matrix_QR_disassemble(double A[DIMENSION][DIMENSION],

double Q[DIMENSION][DIMENSION],

double R[DIMENSION][DIMENSION], int M_Dimension);

//带双步位移QR方法求解矩阵A的全部特征值所用子程序

int checkPricision(double number);

int doubleDisplacement_QR(double A[DIMENSION][DIMENSION], double Lamta[DIMENSION][2]);

void getEigenVector(double A[DIMENSION][DIMENSION], double Lamta);

int rmain_Guass(int dimension, double coefficient[DIMENSION][DIMENSION],

double rightValue[DIMENSION], double X[DIMENSION]);

//主程序

int main()

{

double A[DIMENSION][DIMENSION], Q[DIMENSION][DIMENSION],

R[DIMENSION][DIMENSION], RQ[DIMENSION][DIMENSION];

double Lamta[DIMENSION][2];

int i, j, p;

//初始化矩阵A和特征值向量

intialMatrixA(A);

intialMatrix_Lamta(Lamta);

//对矩阵A进行拟上三角化

simulateUpTriangel(A);

printf("\nThe A's simulateUpTriangel Matrix is: \n");

printMatrix(A);

//对矩阵A进行QR分解，并求解RQ

matrix_QR_disassemble(A, Q, R, DIMENSION);

printf("\nThe Q Matrix is: \n");

printMatrix(Q);

printf("\nThe R Matrix is: \n");

printMatrix(R);

printf("\nThe RQ Matrix is: \n");

//求解矩阵RQ

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