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罚函数法

罚函数法是能够处理一般的约束优化问题：
的一类方法。其基本思想是将约束优化问题卑微无约束问题来求解。罚函数是由目标函数和约束函数的某种组合得到的函数，对于等式约束的优化问题
，可以定义如下的罚函数：

将约束优化问题转化为无约束优化问题；对于不等式约束的优化问题

可以定义如下的罚函数：

对于同时存在等式约束和不等式约束的优化问题，可以去上面两个罚函数的组合。当然罚函数还有其他的取法，但是构造罚函数的思想都是一样的，即使得在可行点罚函数等于原来的目标函数值，在不可行点罚函数等于一个很大的数。

外点罚函数法

1.算法原理

外点罚函数法是通过一系列罚因子
，求罚函数的极小值来逼近原约束问题的最有点。之所以称为外点罚函数法，是因为它是从可行域外部向约束边界逐步靠拢的。

2，。算法步骤

用外点罚函数法求解线性约束问题
的算法过程如下：

1，给定初始点
，罚参数列
及精度
，置
；

2，构造罚函数
；

3，用某种无约束非线性规划，以
为初始点求解
；

4，设最优解为
，若
满足某种终止条件，则停止迭代输出
，否则令
，转2；

罚参数列
的选法：通常先选定一个初始常数
和一个比例系数
，则其余的可表示为
。终止条件可采用
，其中
。

3 算法的MATLAB实现

function [x,minf] = minPF(f,x0,A,b,c1,p,var,eps)

% 目标函数：f；

% 初始点： x0;

% 约束矩阵： A；

% 约束右端向量：b；

% 罚参数的初始常数： c1;

% 罚参数的比例系数： p；

% 自变量向量 Var；

% 精度： eps；

% 目标函数取最小值时自变量值： x;

% 目标函数的最小值：minf；

format long;

if nargin == 7

eps = 1.0e-4;

end

k = 0;

FE = 0;

for i=1:length(b)

FE = FE + (var*transpose(A(1,:)) - b(i))^2;

end

x1 = transpose(x0);

x2 = inf;

while 1

M = c1*p;

FF = M*FE;

SumF = f + FF;

[x2,minf] = minNT(SumF,transpose(x1),var);

if norm(x2 - x1)> f = 0.5*t^2+s^2/4;

>> A=[1 1];b=1;

>> c1=0.05;p=2;

>> [x,minf]=minPF(f,[0 0],A,b,c1,p,[t s])

所得结果为：

>> x=0.3333

0.6666

minf = 0.1666

对于一般的等式约束问题
也可以用外点罚函数法解决：

function [x,minf] = minGeneralPF(f,x0,h,c1,p,var,eps)

format long;

if nargin == 6

eps = 1.0e-4;

end

k 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 else

v = v - M*transpose(Hx2);

x1 = x2;

end

end

end

minf = Funval(f,var,x);

format short;

4 算法举例

其中取
，初始点取为
。

>> syms t s;

>> f = t^2+s^2;

>> h=[t+s-1;2*t-s-2];

>> [x, minf]=minFactor(f, [0 0], h, 2,3, 0.7,[t s])

x=0.2000

0.4000

minf= 0.2000

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