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“方程的根与函数的零点”教学反思

方程的根与函数的零点是高中新课程标准新增的内容，表面上看，这一内容的教学并不困难，但要让学生能够真正理解，教学还需要妥善处理其中的一些问题。

??? 一、首先要让学生认识到学习函数的零点的必要性

??? 教材是利用一元二次方程的例子来引入函数的零点。这样处理，主要是想让学生在原有二次函数的认知基础上，使其知识得到自然的发生发展。理解了像二次函数这样简单的函数的零点，再来理解其他复杂的函数的零点就会容易一些。但在教学时，就不能照本宣科。

　　在教材中这节课是利用一个一元二次方程来引入，围绕怎样判断所给方程是否有实根来提出问题。但是这样的问题：

??? 方程x2－2x－3＝0是否有实根？你是怎样判断的？

??? 不会使学生感兴趣，也不会让学生认识到学习函数的零点的必要性。学生会认为，大家对如何解一元二次方程早就熟练了，老师没必要再问那么简单的问题了。教师所选择的例子，最好是学生用已学方法不能求解的方程，这样才能激发学生的学习积极性，并让其认识到学习函数的零点的必要性。例如，可以把教材后面的例子先提出来，让学生思考：

　　方程lnx＋2x－6＝0是否有实根？为什么？

　　在学生对上述问题一筹莫展时，再回到一元二次方程上，引导学生利用函数的图象和性质来研究方程的根。这堂课的头开好了，整堂课就活了。

　　二、一元二次方程根的存在是否由其判别式决定

??? 在判断一元二次方程x2－2x－3＝0是否有实根时，学生一般会用根的判别式作判断，很少有学生用方程相应的函数图象进行分析。教师应该引导学生作出一元二次方程相应的函数的图象，并建立方程的根与函数图象和x轴交点的联系。值得注意的是，在上述活动中，学生认为，因为一元二次方程根的判别式的大小有三种情况，所以一元二次方程相应的函数图象和x轴的交点就有三种情况。在研究了一元二次方程与其函数图象的关系后，要让学生认识到：虽然我们可以用判别式来判断一元二次方程根的存在，但对于没有判别式的其他方程就可以根据相应的函数图象来判断了。

如果通过建立一元二次方程与其相应函数图象的关系，没有揭露出方程根存在的本质原因是相应函数的零点的存在，那么就会导致学生对引入函数零点的必要性缺乏深刻的认识，以为结合函数图象并利用f(a)?f(b)的值与0的关系判断方程根的存在只是其中的一种方法或技巧，而认识不到其一般性和本质性。所以，教学在研究一元二次方程与其相应函数图象的关系时，关键要以函数图象为纽带，建立一元二次方程的根与相应函数零点之间的关系，让学生理解方程根存在的本质以及判断方程根存在的一般方法。这样，才能将所得到的判断方程根存在的方法推广到一般情况，并使学生对方程根存在的认识不仅仅停留在判别式或函数图象上。

??? 三、根据图象能否判断函数是否有零点以及零点的个数

??? 要判断函数f(x)在（a，b）内是否有零点（教材对于函数f(x)在（a，b）内有零点，只研究函数f(x)的图象穿过x轴的情况），应该先观察函数f(x)的图象在（a，b）内是否与x轴有交点，再证明是否有f(a)?f(b)

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