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http://doc.001pp.com/ 简单学习网 左：简单高中生(jiandan100cn) 中：简单好家长(jd100jz) 右：扫码领取名师视频课 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试 卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.已知集合 M ? {x ?4 ? x ? 2}，N ? {x x2 ? x ? 6 ? 0饈 ，则 M 餓 N = A.{x ?4 ? x ?3饈 B.{x ?4 ? x ? ?2饈 C.{x ?2 ? x ? 2饈 D.{x 2 ? x ?3饈 2.设复数 z 满足 z ? i =1 ，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则 A. (x+1)2 ? y2 ? 1 B. (x ?1)2 ? y2 ? 1 C. x2 ? ( y ?1)2 ? 1 D. x2 ? ( y+1)2 ? 1 3.已知 a ? log2 0.2，b ? 20.2，c ? 0.20.3 ，则 A. a ? b ? c B. a ? c ? b C. c ? a ? b D. b ? c ? a 4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 5 ?1 ( 5 ?1 ≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体 2 2 咨询电话：***18 第 1 页 共 12 页 简单学习网 http://doc.001pp.com/ 简单学习网 的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 5 ?1 .若某人满足上述两个黄金分割比 2 例，且腿长为 105 cm，头顶至脖子下端的长度为 26 cm，则其身高可能是 A.165 cm B.175 cm 5.函数 f(x)= sinx ? x cosx ? x2 在[?餻, 餻] 的图像大致为 C.185 cm A. B. D.190 cm C. D. 6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组成， 爻分为阳某某“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦 恰有 3 个阳某某的概率是 A. 5 16 B. 11 32 C. 21 32 D. 11 16 7.已知非零向量 a，b 满足 | a |? 2 | b | ，且 (a ? b) 館 b，则 a 与 b 的夹角为 π π 2π A. B. C. 6 3 3 8.如图是求 2 ? 1 2 1 ? 1 的程序框图，图中空白框中应填入 2 5π D. 6 咨询电话：***18 第 2 页 共 12 页 简单学习网 http://doc.001pp.com/ 简单学习网 1 A.A= 2 ? A B.A= 2 ? 1 A 1 C.A= 1? 2A 9.记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项某某.已知 S4 ? 0，a5 ? 5 ，则 D.A=1? 1 2A A. an ? 2n ? 5 B. an ? 3n ?10 C. Sn ? 2n2 ? 8n D. Sn ? 1 2 n2 ? 2n 10. 已 知 椭 圆 C 的 焦 点 为 F1( ?1, 0)，F2(1, 0) ， 过 F2 的 直 线 与 C 交 于 A ， B 两 点 . 若 | AF2 |? 2 | F2B | ， | AB |?| BF1 | ，则 C 的方程为 A. x2 ? y2 ? 1 2 B. x2 ? y2 ? 1 32 C. x2 ? y2 ? 1 43 D. x2 ? y2 ? 1 54 11.关于函数 f (x) ? sin | x | ? | sin x | 有下述四个结论： ①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间( 餻 ， 餻 )单调递增 2 ③f(x)在[?餻, 餻] 有 4 个零点 ④f(x)的最大值为 2 其中所有正确结论的编号是 A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③ 12.已知三棱锥 P−ABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PA=PB=PC，△ABC 是边长为 2 的正三 角形，E，F 分别是 PA，AB 的中点，∠CEF=90°，则球 O 的体积为 A. 8 6餻 B. 4 6餻 C. 2 6餻 D. 6餻 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.曲线 y ? 3(x2 ? x)e x 在点 (0，0) 处的切线方程为____________. 14.记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项某某.若 a1 ? 1 3 ，a42 ? a6 ，则 S5=____________. 15.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结 咨询电话：***18 第 3 页 共 12 页 简单学习网 http://doc.001pp.com/ 简单学习网 束).根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率 为 0.6，客场取胜的概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 4∶1 获胜的概率是 ____________. 16.已知双曲线 x2 C： a2 ? y2 b2 ? 1(a ? 0,b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 的直线与 C 饀饀饀餽 饀饀饀餽 饀饀饀餽 饀饀饀饀餽 的 两 条 渐 近 线 分 别 交 于 A ， B 两 点 . 若 F1 A ? AB ， F1B 鹱 F2B ? 0 ， 则 C 的 离 心 率 为 ____________. 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 (一)必考题：共 60 分。 17.(12 分) △ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设 (sin B ? sin C)2 ? sin 2 A ? sin B sin C . (1)求 A； (2)若 2a ? b ? 2c ，求 sinC. 18.(12 分) 如图，直四棱柱 ABCD–A1B1C1D1 的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N 分 别是 BC，BB1，A1D 的中点. (1)证明：MN∥平面 C1DE； (2)求二面角 A−MA1−N 的正弦值. 19.(12 分) 已知抛物线 C：y2=3x 的焦某某 F，斜率为 3 的直线 l 与 C 的交点为 A，B，与 x 轴的交点为 2 P. (1)若|AF|+|BF|=4，求 l 的方程； 咨询电话：***18 第 4 页 共 12 页 简单学习网 http://doc.001pp.com/ 简单学习网 饀饀饀餽 饀饀饀餽 (2)若 AP ? 3PB ，求|AB|. 20.(12 分) 已知函数 f (x) ? sin x ? ln(1? x) ， f 稷(x) 为 f (x) 的导数.证明： (1) f 稷(x) 在区间 (?1, 餻 ) 存在唯一极大值点； 2 (2) f (x) 有且仅有 2 个零点. 21.(12 分) 为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验. 试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以 甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白 鼠比另一种药治愈的白某某 4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便 描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得 ?1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药 得 ?1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一 轮试验中甲药的得分记为 X. (1)求 X 的分布列； (2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分， pi (i ? 0,1,餖,8) 表示“甲药的累计得分为 i 时， 最 终 认 为 甲 药 比 乙 药 更 有 效 ” 的 概 率 ， 则 p0 ? 0 ， p8 ? 1 ， pi ? api?1 ? bpi ? cpi?1 (i ? 1, 2,餖, 7) ，其中 a ? P( X ? ?1) ，b ? P( X ? 0) ，c ? P( X ? 1) . 假设餫 ? 0.5 ， 餬 ? 0.8 . (i)证明：{ pi?1 ? pi} (i ? 0,1, 2,餖, 7) 为等比数列； (ii)求 p4 ，并根据 p4 的值解释这种试验方案的合理性. (二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一 题计分。 22.[选修 4—4：坐标系与参数方程](10 分) 咨询电话：***18 第 5 页 共 12 页 简单学习网 http://doc.001pp.com/ 简单学习网 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 痨 痫痫 痦 x ? 1? 1? t t 2 2 ， (t 为参数).以坐标原点 O 为极点，x 痫 痫痤 y ? 4t 1? t 2 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2餽 cos餼 ? 3餽 sin餼 ?11 ? 0 . (1)求 C 和 l 的直角坐标方程； (2)求 C 上的点到 l 距离的最小值. 23.[选修 4—5：不等式选讲](10 分) 已知 a，b，c 为正数，且满足 abc=1.证明： (1) 1 ? 1 ? 1 穑 a2 ? b2 ? c2 ； abc (2) (a ? b)3 ? (b ? c)3 ? (c ? a)3 鸪 24 . 咨询电话：***18 第 6 页 共 12 页 简单学习网 http://doc.001pp.com/ 简单学习网 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学•参考答案 一、选择题 1.C 2.C 3.B 4.B 5.D 6.A 7.B 8.A 9.A 10.B 11.C 12.D 二、填空题 121 13.y=3x 14. 15.0.18 16.2 3 三、解答题 17. 解 ： (1) 由 已 知 得 sin2 B ? sin2 C ? sin2 A ? sin B sin C ， 故 由 正 弦 定 理 得 b2 ? c2 ? a2 ? bc . 由余弦定理得 cos A ? b2 ? c2 ? a2 ? 1 . 2bc 2 因为 0鸢 ? A ? 180鸢 ，所以 A ? 60鸢 . ? ? (2)由(1)知 B ? 120鸢 ? C ，由题设及正弦定理得 2 sin A ? sin 120鸢 ? C ? 2 sin C ， ? ? 即 6? 3 cos C ? 1 sin C ? 2 sin C ，可得 cos C ? 60鸢 ?? 2 . 22 2 2 ? ? 由于 0鸢 ? C ? 120鸢 ，所以 sin C ? 60鸢 ? 2 ，故 2 ? ? sin C ? sin C ? 60鸢 ? 60鸢 ? ? ? ? ? sin C ? 60鸢 cos 60鸢 ? cos C ? 60鸢 sin 60鸢 ? 6? 2 . 4 18.解：(1)连结B1C，ME. 因为M，E分别为BB1，BC的中点， 1 所以ME∥B1C，且ME= B1C. 2 1 又因为N为A1D的中点，所以ND= A1D. 2 咨询电话：***18 第 7 页 共 12 页 简单学习网 http://doc.001pp.com/ 简单学习网 由题设知A1B1 ?餚 DC，可得B1C ?餚 A1D，故ME ?餚 ND， 因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED. 又MN 鹚 平面EDC1，所以MN∥平面C1DE. (2)由已知可得DE⊥DA. 饀饀饀餽 以D为坐标原点， DA 的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz，则 饀饀饀餽 饀饀饀饀餽 A(2, 0, 0) ，A1(2，0，4)，M (1, 3, 2) ，N (1, 0, 2) ，A1 A ? (0, 0, ?4) ，A1M ? (?1, 3, ?2) ， 饀饀饀饀餽 饀饀饀饀餽 A1N ? (?1, 0, ?2) ， MN ? (0, ? 3, 0) . 饀饀饀饀餽 设m ? ( x, y, z) 为平面A1MA的法向量，则 痨痫m 痦 鹱 饀A饀1饀M餽 ? 0 ， 痫痤m 鹱 A1A ? 0 所以 痨痫痦痫痤??4xz?? 3y ? 0． 2 z ? 0， 可取 m ? ( 3,1, 0) . 饀饀饀饀餽 设 n ? ( p, q, r ) 为平面A1MN的法向量，则 痨痫n 痦 鹱 M饀饀饀N饀餽 ? 0， 痫痤n 鹱 A1N ? 0． 所以 痨痫? 痦痫痤? 3q ? p ? 2r 0， 可取 ? 0． n ? (2, 0, ?1) . 于是 cos疳m, n瘃 ? m 鹱 n ? 2 3 ? 15 ， | m‖n | 2鸫 5 5 所以二面角 A ? MA1 ? N 的正弦值为 10 . 5 19.解：设直线 l : y ? 3 2 x ? t, A? x1, y1 ?, B ? x2 , y2 ? . (1)由题设得 F 疰 痃痂 3 4 , 0 瘀 瘅瘌 ，故 | AF | ? | BF |? x1 ? x2 ? 3 2 ，由题设可得 x1 ? x2 ? 5 2 . 咨询电话：***18 第 8 页 共 12 页 简单学习网 http://doc.001pp.com/ 简单学习网 由 痨痫 痦 痫痤 y? 3x? 2 y2 ? 3x t ，可得 9x2 ?12(t ? 1) x ? 4t 2 ? 0 ，则 x1 ? x2 ? ?12(t ?1) 9 . 从而 ?12(t ?1) ? 5 ，得 t ? ? 7 . 92 8 所以 l 的方程为 y ? 3 x ? 7 . 28 饀饀饀餽 饀饀饀餽 (2)由 AP ? 3PB 可得 y1 ? ?3y2 . 由 痨痫 痦 y ? 3 2 x ? t ，可得 y2 ? 2y ? 2t ? 0 . 痫痤 y2 ? 3x 所以 y1 ? y2 ? 2 .从而 ?3y2 ? y2 ? 2 ，故 y2 ? ?1, y1 ? 3 . 代入 C 的方程得 x1 ? 3, x2 ? 1 3 . 故| AB |? 4 13 . 3 20.解：(1)设 g(x) ? f ' ( x) ，则 g( x) ? cos x ? 1 1 ? x ， g' ( x) ? ? sin x ? 1 (1? x)2 . 当 x 鹞 疰 痃痂 ?1, 餻 2 瘀 瘅瘌 时， g' ( x) 单调递减，而 g' (0) ? 0, g' ( 餻 2 ) ? 0 ，可得 g' ( x) 在 疰 痃痂 ?1, 餻 2 瘀 瘅瘌 有唯一 零点， 设为餫 . 则当 x 鹞 (?1,餫 ) 时， g' (x) ? 0 ；当 x 鹞 疰 痃痂 餫 , 餻 2 瘀 瘅瘌 时， g' ( x) ? 0 . 所以 g (x) 在 (?1,餫 ) 单调递增，在 疰 痃痂 餫 , 餻 2 瘀 瘅瘌 单调递减，故 g ( x) 在 疰 痃痂 ?1, 餻 2 瘀 瘅瘌 存在唯一极大值点， 即 f '(x) 在 疰 痃痂 ?1, 餻 2 瘀 瘅瘌 存在唯一极大值点. (2) f (x) 的定义域为 (?1, ?馥) . 咨询电话：***18 第 9 页 共 12 页 简单学习网 http://doc.001pp.com/ 简单学习网 (i)当 x 鹞 (?1, 0] 时，由(1)知， f '(x) 在 ( ?1,0) 单调递增，而 f '(0) ? 0 ，所以当 x 鹞 (?1, 0) 时， f '(x) ? 0 ，故 f (x) 在 ( ?1,0) 单调递减，又 f (0)=0 ，从而 x ? 0 是 f (x) 在 (?1, 0] 的 唯一零点. (ii)当 x 鹞 疰 痃痂 0, 餻瘗 2 瘊瘥 时，由(1)知， f '(x) 在 (0,餫 ) 单调递增，在 疰 痃痂 餫 , 餻 2 瘀 瘅瘌 单调递减，而 f '(0)=0 ， f ' 疰 痃痂 餻 2 瘀 瘅瘌 ? 0 ，所以存在 餬 鹞 疰 痃痂 餫 , 餻 2 瘀 瘅瘌 ，使得 f '(餬 ) ? 0 ，且当 x 鹞 (0, 餬) 时， f '(x) ? 0 ；当 x 鹞 疰 痃痂 餬, 餻 2 瘀 瘅瘌 时， f '(x) ? 0 .故 f (x) 在 (0, 餬 ) 单调递增，在 疰 痃痂 餬 , 餻 2 瘀 瘅瘌 单调递减. 又 f (0)=0 ， f 疰 痃痂 餻 2 瘀 瘅瘌 ? 1? ln 疰痃痂1? 餻 2 瘀 瘅瘌 ? 0 ，所以当 x 鹞 疰 痃痂 0, 餻瘗 2 瘊瘥 时， f (x) ? 0 .从而， f (x) 在 疰 痃痂 0, 餻 2 瘗 瘊瘥 没有零点. (iii)当 x 鹞 疰 痃痂 餻 2 , 餻瘗瘊瘥 时， f '(x) ? 0 ，所以 f (x) 疰 在 痃痂 餻 2 , 餻 瘀 瘅瘌 单调递 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 取得最小值7，故C上的点到 l 距离的最小值为 7. 23.解：(1)因为 a2 ? b2 鸪 2ab,b2 ? c2 鸪 2bc,c2 ? a2 鸪 2ac ，又 abc ? 1，故有 a2 ? b2 ? c2 鸪 ab ? bc ? ca ? ab ? bc ? ca ? 1 ? 1 ? 1 . abc abc 咨询电话：***18 第 11 页 共 12 页 简单学习网 http://doc.001pp.com/ 所以 1 ? 1 ? 1 穑 a2 ? b2 ? c2 . abc (2)因为 a, b, c 为正数且 abc ? 1，故有 (a ? b)3 ? (b ? c)3 ? (c ? a)3 鸪 33 (a ? b)3 (b ? c)3 (a ? c)3 =3(a+b)(b+c)(a+c) 鸪 3鸫 (2 ab) 鸫 (2 bc ) 鸫 (2 ac ) =24. 所以 (a ? b)3 ? (b ? c)3 ? (c ? a)3 鸪 24 . 简单学习网 咨询电话：***18 第 12 页 共 12 页 简单学习网 [文章尾部最后500字内容到此结束,中间部分内容请查看底下的图片预览]请点击下方选择您需要的文档下载。

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