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材料阅读题分类讲练

1、对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商某某F(n)．例如n＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213＋321＋132＝666，666÷111＝6，所以，F(123)＝6.

(1)计算：F(243)，F(617)；

(2)若s，t都是“相异数”，其中s＝100x＋32，t＝150＋y(1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数)，规定：k＝.当F(s)＋F(t)＝18时，求k的最大值．

2、进制也就是进位制，是人们规定的一种进位方法．对于任何一种进制——X进制，就表示某一位置上的数运算时某某X进一位．十进制是逢十进一，十六进制是逢十六进一，二进制就是逢二进一，以此类推，X进制就是逢X进一．为与十进制进行区分，我们常把用X进制表示的数a写成(a)X.

类比于十进制，我们可以知道：X进制表示的数(1111)X中，右起第一位上的1表示1×X0，第二位上的1表示1×X1，第三位上的1表示1×X2，第四位上的1表示1×X3.故(1111)X＝1×X3＋1×X2＋1×X1＋1×X0，即：(1111)X转化为十进制表示的数为X3＋X2＋X1＋X0.如：(1111)2＝1×23＋1×22＋1×21＋1×20＝15，(1111)5＝1×53＋1×52＋1×51＋1×50＝156.根据材料，完成以下问题：

(1)把下列进制表示的数转化为十进制表示的数：

(101011)2＝________；(302)4＝________；(257)7＝________

(2)若一个五进制三位数(a4b)5与八进制三位数(ba4)8之和能被13整除(1≤a≤5，1≤b≤5，且a、b均为整数)，求a的值；

(3)若一个六进制数与一个八进制数之和为666，则称这两个数互为“如意数”，试判断(mm1)6与(nn5)8是否互为“如意数”？若是，求出这两个数；若不是，说明理由．

3、我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q(p，q是正整数，且p≤q)，在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F(n)＝.例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12－1＞6－2＞4－3，所以3×4是12的最佳分解，所以F(12)＝.

(1)如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．

求证：对任意一个完全平方数m，总有F(m)＝1.

(2)如果一个两位正整数t，t＝10x＋y(1≤x≤y≤9，x，y为自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；

(3)在(2)所得的“吉祥数”中，求F(t)的最大值．

4、我们知道，任意一个大于1的正整数n都可以进行这样的分解：n＝p＋q(p、q是正整数，且p≤q)，在n的所有这种分解中，如果p、q两数的乘积最大，我们就称p＋q是n的最佳分解．并规定在最佳分解时：F(n)＝pq.例如6可以分解成1＋5或2＋4或3＋3，因为1×5

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