专题11 新定义问题（配套练习）（原某某）
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*_**学2021届数学导优（4月2号）
专题 新定义问题（配套练习）
一．选择题（共4小题）
1．我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，若一个四边形的中点四边形是一个菱形，则四边形一定满足
A．是菱形 B．对角线相等
C．对角线垂直 D．对角线互相平分
2．对于非零的两个实数、，规定，若，则的值为
A． B．1 C． D．0
3．我们规定表示不大于的最大整数，例如，，．如果，则满足条件的所有正整数的个数有
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．在平面直角坐标系中，对于任意三点A，B，C，给出如下定义：任意两点横坐标差的最大值为“水平底”的长，任意两点纵坐标差的最大值为“铅垂高”的长，则“水平底×铅垂高＝三点矩面积”，例如：三点坐标分别为A（3，1），B（1，㧟2），C（㧟3，2），则“水平底＝6，铅垂高＝4，三点矩面积S＝24”，已知点E（2，0），F（0，4），G（n，），其中n＞0，则E，F，G的“三点矩面积”的最小值（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
二．填空题（共5小题）
5．对于二次函数，我们把使函数值等于0的实数叫做这个函数的零点．则二次函数为实数）的零点个数为__________．
6．小明发明了一个魔术盒，当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数：，例如把放入其中， 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 】
已知△ABC的三条中线分别是AD，BE，CF．通过适当平移，这是三条中线可以组成一个三角形，我们把这个三角形叫做△ABC的中线三角形，如图①中，△BEG就是△ABC的中线三角形．
【特例研究】
（1）已知图①中每个小正方形的边长均为1，△ABC的三边长分别是6，8，10，那么△ABC的面积S1＝______，△ABC的中线三角形的面积S2＝_____，．
【拓展推广】
（2）如图②，△ABC的三条中线分别是AD，BE，CF，将AD平移至GB，连结EG．
①求证：△BEG是△ABC的中线三角形；
②设△ABC的面积为S1，△BEG的面积为S2，计算的值．
12．定义：如果点C将线段AB分成两条线段AC和BC，若2，那么称点C为线段AB的和谐点，的比值称为和谐比．
（1）如图1，若线段AB的长为1，点C是线段AB的和谐点，求线段AC的长以及和谐比．
（2）如图2①，在△ABC中，CE是AB边上的高线，点D是AB边上一点，∠A＝45°，∠ADC＝60°，ED＝BD，现给出如下命题：
①命题1：点D是线段AB的和谐点；
②命题2：点E是线段AD的和谐点．
判断命题是真命题还是假命题．
（3）如图2②，点C是线段AB的和谐点，⊙O是等边三角形ACD的外接圆，连接BD交⊙O于点E，连接AE交DC于点F，若等边三角形的边长为m，请用含m对的代数式表示线段DF的长．
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