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绝密★启用前

2019年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

本试卷共5页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合A={x|x2-5x+6>0}，B={ x|x-1b，则

A．ln(a?b)>0 B．3a0 D．│a│>│b│

7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是

A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行

C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面

8．若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆
的一个焦点，则p=

A．2 B．3

C．4 D．8

9．下列函数中，以
为周期且在区间(
，
)单调递增的是

A．f(x)=│cos 2x│ B．f(x)=│sin 2x│

C．f(x)=cos│x│ D．f(x)= sin│x│

10．已知α∈(0，
)，2sin 2α=cos 2α+1，则sin α=

A．
B．

C．
D．

11．设F为双曲线C：
的右焦点，
为坐标原点，以
为直径的圆与圆
交于P，Q两点.若
，则C的离心率为

A．
B．

C．2 D．

12．设函数
的定义 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 解集；

（2）若
时，
，求
的取值范围.

2019年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学·参考答案

1．A 2．C 3．C 4．D 5．A

6．C 7．B 8．D 9．A 10．B

11．A 12．B

13．0.98 14．–3

15．6
16．26；

17．解：（1）由已知得，
平面
，
平面
，

故

．

又
，所以
平面
．

（2）由（1）知
．由题设知
，所以
，

故
，
．

以
为坐标原点，
的方向为x轴正方向，
为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，

/

则C（0，1，0），B（1，1，0），
（0，1，2），E（1，0，1），
，
．

设平面EBC的法向量为n=（x，y，x），则

即

所以可取n=
.

设平面
的法向量为m=（x，y，z），则

即

所以可取m=（1，1，0）．

于是
．

所以，二面角
的正弦值为
．

18．解：（1）X=2就是10：10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P（X=2）=0.5×0.4+（1–0.5）×（1–04）=05．

（2）X=4且甲获胜，就是10：10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．

因此所求概率为

[0.5×（1–0.4）+（1–0.5）×0.4]×0.5×0.4=0.1．

19．解：（1）由题设得
，即
．

又因为a1+b1=l，所以
是首项为1，公比为
的等比数列．

由题设得
，

即
．

又因为a1–b1=l，所以
是首项为1，公差为2的等差数列．

（2）由（1）知，
，
．

所以
，

．

20．解：（1）f（x）的定义域为（0，1），（1，+∞）单调递增．

因为f（e）=
，
，

所以f（x）在（1，+∞）有唯一零点x1，即f（x1）=0．

又
，
，

故f（x）在（0，1）有唯一零点
．

综上，f（x）有且仅有两个零点．

（2）因为
，故点B（–lnx0，
）在曲线y=ex上．

由题设知
，即
，

故直线AB的斜率
．

曲线y=ex在点
处切线的斜率是
，曲线
在点
处切线的斜率也是
，

所以曲线
在点
处的切线也是曲线y=ex的切线．

21．解：（1）由题设得
，化简得
，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．

（2）（i）设直线PQ的斜率为k，则其方程为
．

由
得
．

记
，则
．

于是直线
的斜率为
，方程为
．

由
得

．①

设
，则
和
是方程①的解，故
，由此得
．

从而直线
的斜率为
．

所以
，即
是直角三角形．

（ii）由（i）得
，
，

所以△PQG的面积
．

设t=k+
，则由k>0得t≥2，当且仅当k=1时取等号．

因为
在[2，+∞）单调递减，所以当t=2，即k=1时，S取得最大值，最大值为
．

因此，△PQG面积的最大值为
．

22．解：（1）因为
在C上，当
时，
.

由已知得
.

设
为l上除P的任意一点.在
中
，

经检验，点
在曲线
上.

所以，l的极坐标方程为
.

（2）设
，在
中，
即
..

因为P在线段OM上，且
，故
的取值范围是
.

所以，P点轨迹的极坐标方程为
.

23．解：（1）当a=1时，
.

当
时，
；当
时，
.

所以，不等式
的解集为
.

（2）因为
，所以
.

当
，
时，

所以，
的取值范围是
.

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