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　数列求和　

1．公式法与分组转化法

(1)公式法

直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和．

(2)分组转化法

若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和后相加减．

2．倒序相加法与并项求和法

(1)倒序相加法

如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式就是用此法推导的．

(2)并项求和法

在一个数列的前n项某某，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．

例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.

3．裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．

4．错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用错位相减法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．



(1)数列1，3，5，7，…，(2n－1)＋，…的前n项和Sn的值等于________．

答案：(2)数列{an}的前n项某某Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S17＝________.

答案：

(3)(20·*_**已知等差数列{an}的前n项某某Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项某某________．

答案：

(4)若an＝2n－1，则数列的前n项和Sn＝________.

答案：

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分组转化求和



　　　　　　　　　　　　　　　　　

[例1]　(20·*_**已知等差数列{an}的前n项某某Sn，且满足S4＝24，S7＝63.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若bn＝2an＋an，求数列{bn}的前n项和Tn.

[方法技巧]

分组转化法求和的常见类型

(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组转化法求{an}的前n项和．

(2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求和．　　

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错位相减求和



　　[例2]　(20·**_*已知{an}为等差数列，前n项某某Sn(n∈N*)，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.

(1)求{an}和{bn}的通项公式；

(2)求数列{a2nb2n－1}的前n项和(n∈N*)．

[方法技巧]

错位相减法求和的策略

(1)如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项某某，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解．

(2)在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．

(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．　　

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裂项相消求和



几种常见的裂项方式

数列(n为正整数)

裂项方式



 (k为非零常数)

＝





＝





＝－



 (a>0，a≠1)

loga＝loga(n＋1)－logan



　　[例3]　( 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 )已知数列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝则数列{an}的前20项某某(　　)

A．1 121 B．1 122

C．1 123 D．1 124

3.(2·**_*已知数列{an}，{bn}满足a1＝5，an＝2an－1＋3n－1(n≥2，n∈N*)，bn＝an－3n(n∈N*)．

(1)求数列{bn}的通项公式；

(2)求数列{an}的前n项和Sn.

4.(20**_*已知等比数列{an}的前n项某某Sn，公比q>0，S2＝2a2－2，S3＝a4－2.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝，求{bn}的前n项和Tn.

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