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函数的单调性教学设计

高一数学组 郭辉

一、教材分析

函数的单调性是研究当自变量x不断增大时，它的函数y增大还是减小的性质。如函数单调增表现为“随着x增大，y也增大”这一不变的特征.与函数的单调性不同，函数的奇偶性是研究x成为相反数时，y是否也成为相反数，即函数的对称性质.

函数的单调性与函数的极值类似，是函数的局部性质，在整个定义域上不一一定具有.这与函数的奇偶性，函数的最大值、最小值不同，它们是函数的整体性质，即函数在整个定义域上的性质，

函数单调性的研究方法也具有典型意义，体现了对函数研究的一般方法，这就是，加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象，由特殊到一般。首先借助对函数图象的观察、分析、归纳，发现函数的增、减变化的直观特征，进一步量化，发现增、减变化的数字特征，从而进一步用数学符号刻画。

函数单调性的概念是研究具体函数单调性的依据，在研究函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要应用(内部);在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的研究中也有重要的应用(外部). 因而在数学中具有核心地位.

二、教学重点和难点分析

教学重点:引导学生对函数在区间
上“随着
增大，
也增大(或减小)”这特征进行抽象的符号描述，即在区间
上任意取
，
，当
时有
，则称函数
在区间
上单调增（或单调减）。

教学难点：形成增(减)函数概念的过程中，如何从图象升降的直观认识过渡到函数增减的数学存语言表述;用定义证明函数的单调性.

三、教学基本流程

/

四、教学目标和目标解析

理解函数在某区间上单调的意义，掌握用函数的单调性定义证明函数在区间上具有某种单调性的方法(步骤).

1.要求能够以具体的例子说明函数在某区间上具有某种单调性.

2.能够举例说明函数在定义域的子集(区间)上具有单调性，而在整个定义域上未必具有单调性，说明函数的单调性是函数的局部性质.

3.对于一个具体的函数，能够用单调性的定义，证明它的单调性: 在区间上任意取
，
，
作差,
然后判断这个差的正、负，从而证明函数在该区间上是增函数还是减函数。

五、学情分析：教学问题诊断分析

学生已有的认知基础是，初中学习过函数的概念，初步认识到函数是一个刻画某些运动变化数量关系的数学概念;进人高中以后，又进一步学习了函数的概念，认识到函数是两个数集之间的一种对应。学生还知道函数有三种表示方法，特别是可以借助图象对函数特征加以直观考察，此外，还学习过一次函数、二次函数、反比例函数等几个简单而具体的函数，了解它们的图象及性质。尤其值得注意的是，学生有利用函数性质进行两个数大小比较的经验。

“图象是上升的，函数是单调增的;图象是下降的，函数是单调减的”，仅就图象角度直观描述函数单调性的特征学生并不感到困难。困难在于：把具体的、直观形象的函数单调性的特征抽象出来，用数学的符号语言描述，即把某区间上“随着
增大，
也增大(单调增)这一特征用该区间上“任意的
，有
”(单调增)进行刻画，其中最难理解的是为什么要在区间上“任意”取两个大小不等的
，
。

教学中，通过一次函数、二次函数等具体函数的图象及数值变化特征的研究，得到“图象是上升的”，相应地，即“随着
增大，
也增大”，初步提出单调增的说法.通过讨论、交流，让学生尝试，就一般情况进行刻画，提出“在某区间上，若对于任意的
时有
,则函数在该区间上具有‘图象是上升的’、‘随着
增大，
也增大’”的特征;进一步给出函数单调性的定义;然后通过辨析、练习等帮助学生理解这概念.

企图在一节课中完成学生对函数单调性的真正理解可能是不现实的.在今后，学生 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 刻画.最后用不等式，即“大小比较”的方法刻画一种变化规律，描述一个变化过程.设计意图：f(x)在区间D上是减函数
f(x)的图象在区间D上是下降的
在区间D上自变量增大，函数值减小。类似地，f(x)在区间D上是增函数
f(x)的图象在区间D上是上升的
在区间D上自变量增大，函数值增大。

(七)课后作业

教科书第39页，习题1.3，第1，2，3题.

(八)目标检测设计

练习1.画出下列函数的图象 ，并指出单调区间:

(1)
(2)

/

练习3.用函数单调性的定义证明函数
在区间
是增函数，试画出这个函数的图象.

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