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第十六章 二次根式

16.1 二次根式

第2课时 二次根式的性质

学习目标：1.经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法；

2.会运用二次根式的两个性质进行化简计算.

重点：掌握二次根式的两个性质：
.

难点：会利用二次根式的性质解题.



一、知识回顾

1.二次根式的概念是什么？我们上节课学了它的哪些性质？

2.使式子
有意义的条件是_______________.



要点探究

探究点1：
的性质

活动1 如图是一块具有民族风的正方形方巾，面积为a，求它的边某某，并用所求得的边某某表示出面积，你发现了什么？

活动2 为了验证活动1的结论是否具有广泛性，下面根据算术平方根及平方的意义填空，你又发现了什么？

a(a≥0) 算术平方根
平方运算

观察两者有什么关系？

要点归纳：一般地，
(a____0),即一个非负数的算术平方根的平方等于_________.

典例精析

例1(教材P3例2变式题)计算：

例2 在实数范围内分解因式：

方法总结:本题逆用了
在实数范围内分解因式.在实数范围内分解因式时，原来在有理数范围内分解因式的方法和公式仍然适用.

针对训练

计算：

探究点2：
的性质

议一议:

下面根据算术平方根的意义填空，你有什么发现？

1.计算：

;
;
;
.

观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当
.

2.计算：

;
;
;
.

观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当
.

3.计算：

;当
.

要点归纳：将上面得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质：

即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.

典例精析

例3 (教材P4例3变式题)化简：

方法总结:利用
化简求值时，先应确定a的正负，再化简.

例4 实数a、b在数轴上的对应点如图所示，请你化简:

【变式题】实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简：
.

方法总结:利用数轴和二次根式的性质进行化简，关键是要要根据a,b的大小讨论绝对值内式子的符号.

例5 已知a、b、c是△ABC的三边某某，化简：

分析：

针对训练

计算：

2.请同学们快速分辨下列各题的对错：

探究点3：代数式的定义

用基本运算符号（包括加、减、乘、除、乘方和开方）把_______或____________连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.

典例精析

例6 （1）一条河的水流速度是2.5 km/h，船在静水中的速度是 v km/h，用代数式表示船在这条河中顺水行驶和逆水行驶时的速度；

（2）如图，小语要制作一个长与宽之比为5:3的长方形贺卡，若面积为S，用代数式表示出它的长.

方法总结:列代数式的要点：①要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间的关系，如和、差、积、商某某、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等；②理清语句层次明确运算顺序；③牢记一些概念和公式．

针对训练

1.在下列各式中，不是代数式的是（　　）

A.7 B.3＞2 C.
D.

如图是一圆形挂钟，正面面积为S，用代数式表 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 B.4个 C.5个 D.6个

4.化简：

（1）
＝_______ ; （2）
＝_______;

（3）
; （4）
.

5. 实数a在数轴上的位置如图所示，化简
的结果是_________.

6.利用a ＝
（a≥0），把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式：

(1) 9；(2)5；(3)2.5；(4)0.25；(5)
；(6)0 .

能力提升

7.(1)已知a为实数，求代数式
的值.

(2)已知a为实数，求代数式
的值.

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