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9上数学《圆探究问题研究》

【典型例题】

1．在⊙O中，直径AB＝4，点C，D为圆上两点，将劣弧/沿某某AC折叠后点D在AB上的点D′处，连接CD′．

（1）如图1，当点D′与圆心O重合是，连接OD，AC与OD相交于点M，

①∠ACD′＝　 　°，AC＝　 　；

②延长OD至P，使DP＝OD，连接PA，求证：PA是⊙O的切线；

（2）如图2，若点D′与圆心O不重合时，∠BAC＝32°，请直接写出∠ACD′的度数．

2．如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A是切点，B是⊙O上一点，且PB＝PA，射线PO交⊙O于C、D两点．

（1）求证：PB是⊙O的切线；

（2）求证：AC平分∠PAB；

（3）若⊙O的直径是6，AB＝2/，则点D与△PAB的内切圆上各点之间距离的最大值为　 　．

/

3．【提出问题】

（1）已知点P是⊙O外的一点，在⊙O上找一点A，使P、A两点间距离最短．

如图①，连接OP，OP与⊙O的交点A即为所求，此时线段PA最短．为了证明点A即为所求，不妨在⊙O上另外任取一点B，连接PB，OB，证明PB＞PA．请完成这个证明．

/

【变式探究】

（2）已知直线l与⊙O相离，在⊙O上找一点M，使点M到直线l的距离最短．

小明给出下列解答，请你补全小明的解答．

小明的解答

如图②，过点O作ON⊥l，垂足为N，ON与⊙O的交点M即为所求，此时线段MN最短．为了证明点M即为所求，不妨在⊙O上另外任取一点P，过点P作PQ⊥l，垂足为Q，连接OP，OQ，即证明PQ＞MN．

∵　 　，OQ＞ON，

∴OP+PQ＞ON．

又　 　，

∴OP+PQ＞OM+MN．

又OP＝OM，

∴PQ＞MN．

【拓展研究】

（3）如图③，已知直线l和直线外一点A，线段MN的长度为1．请用直尺和圆规作出一个⊙O，使⊙O经过点A，且⊙O上的点到直线l的距离的最小值为1．（不写作法，保留作图痕迹）

（4）如图④，在△ABC中，AC＝8，BC＝12，∠C＝30°，⊙O经过点A，且⊙O上的点到直线BC的距离的最小值为2，距离最小值为2时所对应的⊙O上的点记为点P，若点P在△ABC的内部（不包括边界），则⊙O的半径r的取值范围是　 　．

4．【问题提出】

AB、AC、BC是某区的三条道路，其中AB＝6km，∠BAC＝60°，∠B＝45°，该区想在BC道路边建物资总站点P，在AB、AC道路边分别建物资分站点E、F，即在线段BC、AB、AC上分别选取点P、E、F．由于该区工作人员每天要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，该区工作人员开始研究线段PE、EF、FP之和的最短问题．

【方案设计】

如图②，过点A作AP⊥BC，垂足为P，分别作AP关于AB、AC对称线段AP1，AP2．连接P1P2，P1P2与AB、AC交于E、F，此时PE、EF、FP距离之和最短．试求PE+EF+FP的最小值．

【拓展延伸】

该区的三条道路改为如图所示的AB、AC、弧BC的方式，其中AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，弧BC为60°．分别在弧BC、AB和AC上选取点P、E、F．使得线段PE、EF、FP之和最短，画出图形确定P、E、F的位置，并求PE+EF+FP的最小值．

/

一．含30度角的直角三角

1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2/，点P为AB边上的一个动点，连接PC，过点P作PQ⊥PC交BC边某某Q，则B 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 ．/

8．如图，⊙O的半径R＝10，弦AB＝16，将/沿AB向上翻折，OP与翻折后的弧相切于点P，则OP的长为 ．

9．如图，在⊙O中，点C在优弧/上，将弧/沿BC折叠后刚好经过AB的中点D，连接AC，CD．则下列结论中错误的是（　　）

A．AC＝CD B．/+/＝/ C．OD⊥AB D．CD平分∠ACB

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10．如图，⊙O的半径为6，点C在⊙O上，将圆折叠，使点C与圆心O重合，折痕为AB且点A、B在⊙O上，E、F是AB上两点（点E、F不与点A、B重合且点E在点F的右边），且AF＝BE．

（1）判定四边形OECF的形状；

（2）当AF为多少时，四边形OECF为正方形？

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