解斜三角形知识分析

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解斜三角形

代银

（*_**学，安徽 232001）

本单元知识网络:

作为历年高考考查的重点,本单元运用平面向量的数量积推导出三角形的正弦定理和余弦定理，连同三角形、三角函数的其它知识作为工具，比较系统地研究了斜三角形求解这个课题.

2.本单元重、难点分析:

本单元的重点:

(1) 正弦定理的推导、理解、变形与灵活应用，以及在运用正弦定理时可能会带来的三角形解的讨论;

(2) 正、余弦定理的推导、理解、变形与灵活应用；

(3) 三角形面积计算公式的理解与应用;

(4) 四种角（仰角、俯角、方向角、方位角）的概念的正确理解;

(5) 运用解斜三角形知识求解实际应用问题.

本单元的难点:

运用向量知识推导正、余弦定理；

“已知两边和其中一边的对角”在运用正弦定理求解三角

形时,对三角形解的讨论；

（3）掌握正、余弦定理公式及变形式的特点,结合已知条件灵活解题.

(4) 将有关实际应用问题正确抽象为解斜三角形的数学模型.

本单元以正弦定理、余弦定理、三角形面积公式为基础，以变换、思维运算为主体，以灵活运用为目的，学习时应熟练掌握各定理、公式的特点，掌握一些化归和变换思想.

3.典型例题选讲:

例1. 在中, ,则的形状为( ).

.等边三角形 .等腰三角形 .直角三角形 .等腰三角形或直角三角形

分析: 对三角形形状的判定可以从边长关系或者从三角形内角关系上入手.由题设条件,直观上我们可以运用余弦定理的变形式将已知条件化归为三角形边长关系;另外,已知条件中边长的“齐某某”之比的特点，使得我们还可以运用正弦定理化边某某寻求内角关系.

解法1:(由余弦定理化角为边)

化简得:

或

为等腰三角形或直角三角形.

解法2:(由正弦定理化边某某)

即

或

即或

为等腰三角形或直角三角形.

说明: (1)对三角形形状的判定一直是高考经常考查的知识点.求解此类问题,我们要明确两种判定途径(边长关系、内角关系)，从已知条件的边角关系特点与正、余弦定理公式及变形式的特点寻求突破口. (2)另外解法1中,在判断三角形形状的解题过程中,等式两边不能随便约去一个因式,否则会丢掉一种可能的情况,这点同学们经常忽略,应给予重视.

例2. 在中,若,,,求的面积.

分析:此问题属于“已知两边及一边的对角，求解三角形”问题.常用作法有以下几种处理方式.

解法1.(教材图解法)

由正弦定理,

, 又

三角形有两解

当为锐角时, 则

当为钝角时, 则

解法2.(余弦定理法)

由余弦定理,

又

代入得.

解法3.(函数图象法)

同解法1,

由正弦定理得

易知与

图象有两个交点

三角形有两解

(以下略)

解法4. 同解法1,由正弦定理得

又,

,可取或.

(以下略)

说明: “已知两边和其中一边的对角”在运用正弦定理求解三角形时,对三角形解的讨论是本单元同学们学习的一个难点.解法1是教材给出的图解法比较直观,但部分同学感到很抽象,可操作性不强。解法2另辟异境借助余弦函数在内单调性，将原本该正弦定理求解且需要讨论解的取舍的问题，直接求出，“能求余弦不求正弦”的原则可以帮助我们摆脱解的个数的讨论，但该方法有时运算起来较为繁琐.解法3用函数的视角，数形结合的数学思想讨论解的个数，形象直观.解法4是一种可操作性较强的方法，详细情况如下：在中,已知边为所对的角.

由正弦定理得 .

若，则问题无解；

若，则问题有一解；

若，则可得的两个值，一个锐角一个钝角，但要通过“三角形内角和定理”或“大边对大角”等三角形有关内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。的对边, .

(1)求;

(2)若求边的值.

17.如图,已知三个角满足

, 是外接圆直径, .求和的长.

18.已知中,的对边长分别为,且满足.

(1)求;

(2)若为的最小边,求的取值范围.

19.在中,角所对的边分别为且依次成等差数列,又最大角是最小角的2倍,求.

20.如图,已知为边长为1的正三角形, 分别为边上的点,线段经过的中心,设.

(1)试将,的面积(分别记为)表示为的函数;

(2)求的最大值与最小值.

21.如图所示,某城市有一条公路从正西方通过中心后转向东北方向,现要修建一条铁路, 在上设一站,在上设一站,铁路在部分为直线段,现要求市中心与的距离为10 ,问把、分别设在公路上离中心多远处才能使最短?并求出最短距离.

参考答案:

选择题:1—10 DCDDB BCCBA

填空题:11. 12. 13. 14. 15.

1. ,

由正弦定理得:

或

即或

为等腰三角形或直角三角形.

2.由例2图象法,可得: .

3.由正弦定理得:,

由例2图象法,得,所以.

由正弦定理得

又,得

所以是等边三角形.

5. 由余弦定理得

所以.

6. 由 pq得,即,

, .

7.正确理解仰角俯角概念可求得得答案为m.

8. 由正弦定理得:,

, .

又,

10. (充分性):又

可得: ,

可得:

所以或

所以,(舍)

(必要性): ,

化简可得

(1) =0,即;

(2)当时,结合得为等腰直角三角形,

仍满足.

11. 由余弦定理得: ,.

12. 由正弦定理得:,由余弦定理得,.

13. ,得;

由余弦定理得:

得,,

外接圆面积为.

14. 由余弦定理

可得: ,

得,所以.

15.

又, 由正弦定理得:

即

16.解(1) ,

得 , 所以

(2) ,

, 得:

又, 解得,或,.

17.解:在中,

由正弦定理得:

由余弦定理,

,在中,

18.解:(1)

又

所以得:

或

(2) 为的最小边

且,

又得

19.解: 由得

由正弦定理有: ①

又由余弦定理有:

三边成等差数列,即则

②

比较①,②得: , 即

或 (舍)

代入中,得

20.解 (1)因为是该正三角形中心,

所以,

由正弦定理

,得

则

同理可求得.

(2)

因为,

所以当或时, 取得最大值

当时, 取得最小值.

21.解:在中,设,,易得,

(当且仅当时,等号成立)

又到的距离为10 ,设,则.

所以.

当,即时,等号成立.

所以

当且仅当时, 最短,其最短距离为km.

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