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小波分析及在数字信号处理中的应用XX信息科技大学

信息与通信***朱某某1 小波分析的国内外研究现状 自从1822年傅某某（Fourier）发表“热传导解析理论”以来，傅某某变换一直是信号处理领域中最完美、应用最广泛、效果最好的一种分析手段。但傅某某变换只是一种纯频域的分析方法，它在频域的定位性是完全准确的（即频域分辨率最高），而在时域无任何定位性（或分辨能力），也即傅某某变换所反映的是整个信号全部时间下的整体频域特征，而不能提供任何局部时间段上的频率信息。相反，当一个函数用δ函数展开时，它在时间域的定位是完全准确的，而在频域却无任何定位性（或分辨能力），也即δ函数分析所反映的只是信号在全部频率上的整体时域特征，而不能提供任何频率段所对应的时间信息。1 小波分析的国内外研究现状 实际中，对于一些常见的非平稳信号，如音乐信号，在不同时间演奏不同音符；语音信号，在不同时间对应不同音节；探地信号，在不同目标出现的位置对应一个回波信号等，它们的频域特性都随时间而变化，因此也可称它们为时变信号。对这一类时变信号进行分析，通常需要提取某一时间段（或瞬间）的频域信息或某一频率段所对应的时间信息。因此，寻求一种介于傅某某分析和δ分析之间的，并具有一定的时间和频率分辨率的基函数来分析时变信号，一直是信号处理界及数学界人士长期以来努力的目标。

为了研究信号在局部时间范围的频率特征，1946年Gabor提出了著名的Gabor变换，之后又进一步发展为短时傅某某变换（Short Time Fourier Transform，简记为STFT，又称为加窗傅某某变换）。 1 小波分析的国内外研究现状虽然STFT已在许多领域获得了广泛的应用，但由于STFT的本身特点决定了其窗函数的大小和形状与时间和频率无关而保持固定不变，这对于分析时变信号来说是不利的。高频信号一般持续时间很短，而低频信号持续时间较长，因此，我们希望对于高频信号采用小时间窗，对于低频信号采用大时间窗进行分析，这种变时窗的要求同STFT的固定时窗的特性是相矛盾的，这表明STFT在处理这一类问题时已不在实用了。 1 小波分析的国内外研究现状小波分析（Wavelets Analysis）是近年迅速发展起来的新兴学科，具有深刻的理论意义和广泛的应用范围。小波分析是一种信号的时间——尺度（时间——频率）分析方法，它具有多分辨分析的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口大小固定不变但其形状可以改变的时频局部化分析方法。即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合于探测正常信号中夹带的瞬变反常信号并分析其成分，所以被誉为分析信号的显微镜。 1 小波分析的国内外研究现状由于小波具有多分辩分析的能力，可以对信号和图像在不同尺度上进行分解，在小波域进行去噪、压缩处理后，作反变换得到去噪和压缩后的信号和图像。小波分析用于非平稳信号和图像的处理优于传统的傅某某变换已被许多应用领域的事实所证实。因此，自小波分析诞生到现在不过10年的时间，就在诸如地球物理勘探、信号信息处理、图像处理、语音分割与合成、故障诊断、雷达信号分析等取得了很佳的应用效果。

1 小波分析的国内外研究现状 1. 1小波分析的发展简史

1910年Haar最早的小波基；1936年Littlewood和Paley的多尺度分析思想；1946年Gabor提出的加窗傅某某变换，Calderon、Zygmund、Stern等推广L-P理论，并建立了奇异积分算子理论；1965年Calderon发现了再生核公式；1981年，Stormberg对Haar系改进，证明了小波函数的存在性；1982年Battle采用了Calderon 再生核公式的展开形式；1984年，法国地球物理学家J.Morlet与A.Grossman；1985年，法国的大数学家Meyer；1986年，Meyer及其学生Lemarie提出了多尺度分析的思想；1987年Mallat；1988年，年轻的女数学家Daubechies I. 。 1 小波分析的国内外研究现状1.2小波研究的国内外现状

国外： Mallat算法 1989年，Meyer出版的《小波与算子》，崔锦泰著的“An introduction to wavelets”和 Daubechies I.的“Ten lectures on wavelets”

国内：1994年形成国内的小波研究高潮。小波著作主要有刘某某、邸双亮编著的小波分析及应用，程正兴编著的小波分析算法与应用，李平.建主编的小波分析与信号处理——理论、应用及软件实现，杨福生编著的小波变换的工程分析与应用等。主要研究单位有：北大、清华、XX大学、中科院数学研究所、浙大、山.中大学、XX交通大学、XX电子科技大学、XX大学先后开展了有关的研究工作。现在我国有一批年轻的博士XX士正在努力攻关，期待取得小波及其应用研究的突破性进展。1小波分析的国内外研究现状不存在一种小波基能够适应所有的情况，针对不同的问题应最优地选取不同的小波基以实现最好的应用效果，因此小波基的优化选择将始终是小波理论研究的重要内容。另一方面，目前，基于小波变换的图像压缩编码主要或基本上套用Daubechies小波基，所采用的图像主要是Babara、Lena、Goldhill、Woman等广泛使用的测试图像，针对某一领域的具体应用，缺乏对小波变换理论与实际应用相结合的研究。此外，计算时间、压缩倍数和失真程度很难辨证的统一。因此，针对具体的应用领域，选定合适的小波基、采用合理的算法将始终是小波应用研究的永恒的课题。2 傅某某变换、Gabor变换和小波变换的对比分析对于非周期函数f(t)∈L1(R)，其傅某某变换定义为：

逆变换定义为：

函数f(t)的傅某某变换和其逆变换构成了一个变换对。上述公式也可采用对称的形式，即公式前面的系数采用 的形式，则函数f(t)可在完备的标准正交系下展开。傅某某变换有许多性质 。

2 傅某某变换、Gabor变换和小波变换的对比分析傅某某变换是时域到频域互相转化的工具，从物理意义上讲，傅某某变换的实质是将时域的信号分解成许多不同频率的正弦波或余弦波的叠加和，这样我们就可以把对原函数f(t)的研究转化对其权系数的研究，即傅某某变换F(ω)的研究。虽然傅某某变换能够将信号的时域特征和频域特征联系起来，能分别从信号的时域和频域观察，但却不能把二者有机地结合起来。这是因为任何时刻的信号的时域波形中包含了信号全部频域的信息。而傅某某谱是信号的统计特征，它是整个时间域的积分，没有局部化分析信号的功能，完全不具备时域信息，也就是说，对于傅某某谱中的某一频率，不知到这个频率是什么时间产生的。这样在信号分析中就面临一对最基本的矛盾：时域和频域的局部化矛盾。2 傅某某变换、Gabor变换和小波变换的对比分析2.2 Gabor变换

Gabor变换定义如下：

其中，

公式

当取 时，高斯函数变成了正态函数。当τ =0, σ =1时就变成了标准正态分布函数。

a>0, τ∈R 2 傅某某变换、Gabor变换和小波变换的对比分析高斯函数的特性

? (1) ga(t-τ)>0；

??(2) ga(t-τ) 当t →±∞时它以 速度趋近于0；

(3) ；

(4) ga(t-τ)的范某某：

(5) ga(t-τ)的中心定义为：

(6) ga(t-τ)的半径定义为：

2 傅某某变换、Gabor变换和小波变换的对比分析高斯函数的傅某某变换特性

(1) , a越小ga(t-τ)越窄， 而越宽；

(2)范某某；

(3) 的中心与ga(t-τ)的定义在形式上是一致的，

ω=0；

(4) 的半径

(5) ga(t-τ)的窗口面积 ；

(6) ga(t-τ)的窗口中心

2 傅某某变换、Gabor变换和小波变换的对比分析Gabor基元的窗口为：

而窗口面积s=2，由此可见高斯基和Gabor基元的窗口面积是不变的。但Gabor基元 在时域内主要集中在以τr为中心的 区间内，频谱主要集中在以ωs为中心的 区间内，这两个区间的大小，分别表示了基元在时域和频域中的局部性（或称局部化）的好坏。基元的窗口形状与a密切相关，当a增大时窗口在时间轴方向增加，频率轴方向减小，表现为时间分辨率降低，频率分辨率增加； 2 傅某某变换、Gabor变换和小波变换的对比分析反之，当a减小时窗口在时间轴方向减小，频率轴方向增加，表现为时间分辨率增加，频率分辨率降低。适当地选取a可得到相应的时-频分辨率。Gabor基元的窗口中心与τr和ωs有关与a无关。但我们知道一旦Gabor基元选定后a也就确定了，也就是时-频分辨率随之也是确定的，因此Gabor变换仍然不能解决低频信号要求高的频率分辨率，而高频信号要求高的时间分辨率的变分辨率问题。那么，我们能否通过选定较小的时-频半径，而同时增加时-频分辨率呢？测不准原理回答了这一问题。 2 傅某某变换、Gabor变换和小波变换的对比分析测不准原理

设窗口函数为g(t)，其傅式变换为 ，则其时-频半径的乘积满足下述不等式：

测不准原理表明时域分辨率的增加，必然导致频域分辨率的降低；反之，频域分辨率的增加必然导致时域分辨率的降低。

小波变换的定义：

设 ，其傅某某变换为 ，如果 满足如下条件（称为容许条件）：

2 傅某某变换、Gabor变换和小波变换的对比分析则称 为基本小波（或母小波，小波母函数）。

通过尺度伸缩和平移生成的如下函数族：

a∈R, a≠0, b∈R

称为由 生成的连续小波。其中a称为尺度参量，b是平移参量。根据容许条件要求，当ω=0时，为使被积函数为有效值必须有 ，所以可得到前式的等价条件为：

2 傅某某变换、Gabor变换和小波变换的对比分析此式表明 中不含直流，只含有交流即具有震荡性，故称为“波” 。为了使 具有局部性，即在有限的区间之外很快衰减为零，还必须加上一个衰减条件：

ε>0, c>0 为常数

该式的含义是：当t →±∞时， 的衰减比1/|t|快，衰减条件要求小波具有局部性，这种局部性称为“小”，故(3.3.1)式称为小波。小波变换定义为：

2 傅某某变换、Gabor变换和小波变换的对比分析小波的时某某

小波是时域和频域中的局部函数，因此也可以类似窗口函数，定义其时频中心和半径，用来衡量它的局部化程度。按照正、负两个频段(0,∞)和(-∞,0)来定义小波的频域中心和半径。

2 傅某某变换、Gabor变换和小波变换的对比分析按照上述定义小波 (a>0)的时某某中心和半径经计算分别为：

2 傅某某变换、Gabor变换和小波变换的对比分析从上述三个公式中我们可以看出，当a较大时（相当于低频）时域分辨率较低，频域分辨率较高；当a较小时（相当于高频）时域分辨率较高，频域分辨率较低。因此当a从小逐渐增大时，时频分辨率就会发生相应的变化，这种特性称为小波的“变焦”特性或多分辨率分析。然而，从最后的一个公式可知，无论a如何变化窗口的面积是保持不变的，即时域分辨率的增加，必然导致频域分辨率的减小，反之亦然。 2傅某某变换、Gabor变换和小波变换的对比分析 Gabor变换的相平面

2 傅某某变换、Gabor变换和小波变换的对比分析 小波变换的相平面

4 小波变换的理论研究 4.1 小波变换的离散化

连续小波离散成为离散小波必须满足一定的条件才能成为小波 。根据计算可知，二进小波的频谱能够覆盖、重叠覆盖和不能覆盖整个正频轴与r 值有很大的关系。当母小波的频谱很窄，相应的时域半径△t0很大时，即满足r>3/2，不能覆盖；当母小波的时域半径△t0较小，即满足r=3/2时，无重叠覆盖；当母小波的时域半径△t0很小，即满足r请点击下方选择您需要的文档下载。

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