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初中数学

方程思想



编稿

巩建兵

一校

林某某

二校

黄某某

审核

王某某





一、考点突破

方程思想是指用方程来解决数学问题，这是一种非常重要的方法，是中考的热点题型。这类问题综合性较强，通常与实际问题或其它数学知识相联系，解答这类问题的关键是进行转化，根据题意建立方程模型。

二、重难点提示

重点：能够将实际问题或其它数学问题转化成方程来解决。

难点：确立相等关系，建立方程模型。

方程思想

在解决数学问题时，有一种从未知转化为已知的手段就是通过设元，寻找已知与未知之间的等量关系构造方程或方程组，然后求解方程完成未知向已知的转化，这种解决问题的思想称为方程思想。

方程是研究量与量之间关系的重要模型之一。列方程的一般步骤是仔细分析实际问题中的每个量，找出哪个是已知数，哪个是未知数，并分析已知数和未知数之间的关系，找出相等关系，用字母代替未知量，列式表示出这个相等关系。

例题1 （XX）如图1，天平呈平衡状态，其中左侧秤盘中有一袋玻璃球，右侧秤盘中也有一袋玻璃球，还有2个各20克的砝码。现将左侧袋中一颗玻璃球移至右侧秤盘，并拿走右侧秤盘的1个砝码后，天平仍呈平衡状态，如图2，则被移动的玻璃球的质量为（ ）

A. 10克 B. 15克 C. 20克 D. 25克

思路分析：根据天平仍然处于平衡状态列出一元一次方程求解即可。

答案：设左、右两侧秤盘中两袋玻璃球的质量分别为m克、n克，根据题意得：m＝n＋40，
；设被移动的玻璃球的质量为x克，根据题意得：m－x＝n＋x＋20，x＝
（m－n－20）＝
（n＋40－n－20）＝10。故选A。

技巧点拨：本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找到等量关系。

例题2 某班将举行“庆祝建党90周年知识竞赛”活动，班安.长排小明购买奖品，下面两图是小明买回奖品时与班长的对话情境：

请根据上面的信息，试求两种笔记本各买了多少本？

思路分析：设单价为5元的笔记本买了x本，则单价为8元的笔记本买了（40－x）本。根据领了300元，找回68元列出方程求解即可。

答案：设单价为5元的笔记本买了x本，则单价为8元的笔记本买了（40－x）本，由题意得：

5x＋8（40－x）＝300＋13－68，

解得：x＝25，则40－x＝15（本）。

答：单价为5元的笔记本买了25本，则单价为8元的笔记本买了15本。

技巧点拨：本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找到等量关系并列出方程。本知识点是一元一次方程中的难点。

例题3 如图，在长方形ABCD中，AB＝6，CB＝8，点P与点Q分别是AB、CB边上的动点，点P与点Q同时出发，点P以每秒2个单位长度的速度从点A→点B运动，点Q以每秒1个单位长度的速度从点C→点B运动。当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动。（设运动时间为t秒）

（1）如果存在某一时刻恰好使QB＝2PB，求出此时t的值；

（2）在（1）的条件下，求图中阴影部分的面积（结果保留整数）。

思路分析：（1）当t秒QB＝2PB时，BP＝6－2t，BQ＝8－t，就有8－t＝2（6－2t），求出结论就可以了；（2）由（1）求出t的值后就可以求出BP、BQ的值，用长方形的面积减去三角形BPQ的面积求出阴影部分的面积。

答案：（1）由题意可知AP＝2t，CQ＝t，所以PB＝AB－AP＝6－2t，QB＝CB－CQ＝8－t。当QB＝2PB时，有8－t＝2（6－2t）。解这个方程得
。所以当
秒时，QB＝2PB。

（2）当
时，
，
，所以

，因为S长方形ABC 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 x＋（8－x－1）＝17，解得x＝5。

答：前8场比赛中，这支球队共胜了5场。

（2）在前8场比赛中得了17分，还剩6场，若全胜，得18分，所以最高能得17＋18＝35（分）。

（3）设在后面的6场比赛中，这支球队至少要胜x场，才能达到预期的目标，则17＋3x＋（6－x）×1＝29，解得x＝3。

答：这支球队至少要胜3场才能达到预期的目标。

**8. 解：（1）由已知可得A站至F站的火车票价为
＝153.72≈154（元）

（2）设王某某实际乘车里程数为x千米，根据题意，得：
＝66。解得x＝550（千米）。对照表格可知，D站与G站之间的距离为550千米，所以王某某是从D站上车，在G站下车。

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