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三角形的外角

教学目标

1.理解三角形外角的概念，初步掌握它的性质及应用.

2.培养学生分解基本图形及添加辅助线构造基本图形的能力.

教学重点和难点

三角形外角的性质及应用是重点；三角形外角的性质的灵活运用是难点.

教学过程设计

一、三角形外角定义的教学

1.画图复习邻补角，引出三角形的外角.

教师给出△ABC(见图29)，让学生画出每一个内角的邻补角，叙述画法，并总结每一内角的邻补角的个数及大小关系.

告诉学生以上画图过程所得到的角就是三角形的外角，引出课题，引导学生总结归纳三角形的外角的特征及定义.

2.归纳三角形外角的特征及定义.

(1)三角形外角的特征：

①外角的顶点在三角形的一个顶点上；

②外角的一条边是三角形的一边；

③外角的另一边是三角形某条边的延长线.

师：由于确定了一个角的两边，就确定了一个角，因此，怎样简化叙述三角形外角的定义？

(2)三角形外角的定义：

三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫三角形的外角.

3.总结三角形外角的画法、个数及大小关系.

(1)画法：根据定义，画出每一个角的邻补角.

(2)个数：每个三角形共有六个外角，如图30中∠1～∠6.

(3)大小关系：每个顶点处的两外角相等.

4.练习巩固外角的定义.

(投影)练习1 如图31，下列关于外角的说法是否正确

(1)∠1是△ABC的外角；

(2)∠2是△ABC的外角；

(3)∠3是△ABC的外角；

(4)∠4是∠BAC的外角.

说明：通过此题巩固对外角的定义及三个特征的准确理解.注意第(4)题，∠4应是△ABC的外角、∠BAC的邻补角.

(投影)练习2 如图32(a)，∠AED是哪些三角形的内角？是哪些三角形的外角？是哪个角的邻补角？

(2)如图32(b)，∠1，∠2，∠3分别是哪些三角形的外角？

说明：通过此题让学生会从复杂图形中分解出基本图形，为后面使用外角的性质作好准备.而根据解题需要分解基本图形，把一个角看成某个三角形的内角或外角，是每个学生都必须具备的转换角度看问题的能力.

(投影)练习3 (选用)以下关于三角形的三个外角(每一顶点处取一个外角)的命题是否正确？

(1)一个三角形至少有两个外角是钝角；

(2)一个三角形的三个外角中，最多可有三个角是锐角；

(3)若一个三角形的三个外角中，有一个是锐角，则它必为锐角三角形；

(4)有一个外角等于和它相邻的内角的三角形是直角三角形；

(5)一个外角小于和它相 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 DC＝∠3＋∠A＋∠4

∵BF，CF分别平分∠ABC和∠ACB，

练习5 如图38，BF平分∠ABC，CF平分△ABC的外角∠ACM，∠BFC与∠A有何关系？请证明你的结论

说明：(1)将图37的条件(两内角平分线)加以改变，观察结论如何变化，这是常用的研究问题的方法

证明 ∵∠F＝∠2-∠1， ∠A=∠ACM-∠ABC，

又∵BF，CF分别平分∠ABC和∠ACM，

练习6 在图 30中，∠1＋∠3+∠5等于多少度？为什么？

通过此题为后边“多边形的外角和为360°”埋下一个伏笔.

练习7 已知：如图40，在△ABC中，∠B＝∠C，AE平分△ABC的外角∠DAC．求证：AE∥BC．

练习8 已知：如图41，△ABC的三个外角∠DAC，∠CBG和∠ACF，AE和CE分别平分∠DAC和∠ACF.求证:∠CBG＝2∠E

2.在三角形的复合图形中使用性质.(选用)

例2 如图42，已知五角星ADBEC，求证：∠A＋∠B＋∠C+∠D+∠E＝ 180°.

证法一 ∵∠A＋∠D＋∠AGD＝180°，∠AGD=∠B+∠BFG，∠BFG＝∠C＋∠E，

∴∠A+∠D＋∠B＋∠C＋∠E＝180°.

证法二 连结 CD，则∠B＋∠E=∠ECD+∠BDC．将五个角集中在△ACD中，利用三角形内角和便可得到结果.

例3 见图43，求证:∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝360°.

证法一 ∵∠A＋∠B＝180°－∠1，∠C＋∠D＝ 180°-∠2，∠E＋∠F＝180°-∠3，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝540°-(∠1+∠2＋∠3)＝360°.

证法二 连结CF，则∠A+∠B＝∠BCF＋∠AFC，这样∠A＋∠B便转移到四边形DCFE中，利用四边形内角和等于360°可使问题得到解决.因此这种方法在学完多边形内角和后将很简练.

3.利用外角性质证明角度的不等关系.(选用)

例4 已知：如图44， BCD， CAE和 AFB为直线.求证：∠2＞∠1.

练习9 见图36，求证：∠BFC＞∠BAC．

说明：利用三角形的内角和定理的推论3，选择和外角不相邻的一个合适的内角证明角度不等关系.

四、师生共同小结

1.关于三角形的内角、外角，我们学习了哪些性质？

2.利用角度大小判定三角形的形状有几种方法？

①看内角中有几个锐角、直角、钝角？

②看外角中有几个锐角、直角、钝角？

五、作业

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