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三角形的外角

教学目标

1.理解三角形外角的概念，初步掌握它的性质及应用.

2.培养学生分解基本图形及添加辅助线构造基本图形的能力.

教学重点和难点

三角形外角的性质及应用是重点；三角形外角的性质的灵活运用是难点.

教学过程设计

一、三角形外角定义的教学

1.画图复习邻补角，引出三角形的外角.

教师给出△ABC(见图29)，让学生画出每一个内角的邻补角，叙述画法，并总结每一内角的邻补角的个数及大小关系.

告诉学生以上画图过程所得到的角就是三角形的外角，引出课题，引导学生总结归纳三角形的外角的特征及定义.

2.归纳三角形外角的特征及定义.

(1)三角形外角的特征：

①外角的顶点在三角形的一个顶点上；

②外角的一条边是三角形的一边；

③外角的另一边是三角形某条边的延长线.

师：由于确定了一个角的两边，就确定了一个角，因此，怎样简化叙述三角形外角的定义？

(2)三角形外角的定义：

三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫三角形的外角.

3.总结三角形外角的画法、个数及大小关系.

(1)画法：根据定义，画出每一个角的邻补角.

(2)个数：每个三角形共有六个外角，如图30中∠1～∠6.

(3)大小关系：每个顶点处的两外角相等.

4.练习巩固外角的定义.

(投影)练习1 如图31，下列关于外角的说法是否正确

(1)∠1是△ABC的外角；

(2)∠2是△ABC的外角；

(3)∠3是△ABC的外角；

(4)∠4是∠BAC的外角.

说明：通过此题巩固对外角的定义及三个特征的准确理解.注意第(4)题，∠4应是△ABC的外角、∠BAC的邻补角.

(投影)练习2 如图32(a)，∠AED是哪些三角形的内角？是哪些三角形的外角？是哪个角的邻补角？

(2)如图32(b)，∠1，∠2，∠3分别是哪些三角形的外角？

说明：通过此题让学生会从复杂图形中分解出基本图形，为后面使用外角的性质作好准备.而根据解题需要分解基本图形，把一个角看成某个三角形的内角或外角，是每个学生都必须具备的转换角度看问题的能力.

(投影)练习3 (选用)以下关于三角形的三个外角(每一顶点处取一个外角)的命题是否正确？

(1)一个三角形至少有两个外角是钝角；

(2)一个三角形的三个外角中，最多可有三个角是锐角；

(3)若一个三角形的三个外角中，有一个是锐角，则它必为锐角三角形；

(4)有一个外角等于和它相邻的内角的三角形是直角三角形；

(5)一个外角小于和它相邻的内角的三角形必是钝角三角形.

通过此题，总结锐角、钝角、直角三角形的外角的情况：

锐角三角形的三个外角全是钝角；直角三角形的两个外角是钝角，第三个外角是直角；钝角三角形的两个外角是钝角，第三个外角是锐角.反过来，可以用外角中钝角、直角或锐角的个数判断三角形的形状.

答案：√； ×；×； √；√.

二、猜想并证明外角的性质

师：在图30中，由三角形的外角(如∠ACI)和三角形的位置关系的三条特征，决定了它的大小与三角形的内角有何关系？如何证明？

生甲：∵∠ACI是∠ACB的邻补角，∴∠ACI＝180°-∠ACB．

生乙：由于 180°-∠ACB＝∠BAC+∠ABC，所以可继续推出∠ACI＝∠BAC＋∠ABC．

教师引导学生归纳总结：同一三角形的外角与内角的大小有以下几种关系：

(1)互补关系：三角形的一个外角与和它相邻的内角互补.

(2)相等关系：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和(推论2).

教师启发学生思考：那么三角形的外角与和它不相邻的一个内角的大小关系如何？

(3)不等关系：三角形的一个外角大于任何一个和它不 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 ∠AFC，这样∠A＋∠B便转移到四边形DCFE中，利用四边形内角和等于360°可使问题得到解决.因此这种方法在学完多边形内角和后将很简练.

3.利用外角性质证明角度的不等关系.(选用)

例4 已知：如图44， BCD， CAE和 AFB为直线.求证：∠2＞∠1.

练习9 见图36，求证：∠BFC＞∠BAC．

说明：利用三角形的内角和定理的推论3，选择和外角不相邻的一个合适的内角证明角度不等关系.

四、师生共同小结

1.关于三角形的内角、外角，我们学习了哪些性质？

2.利用角度大小判定三角形的形状有几种方法？

①看内角中有几个锐角、直角、钝角？

②看外角中有几个锐角、直角、钝角？

五、作业

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