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大学高数习题（三）

一、单项选择题（本大题共5小题,每小题3分，共15分）

1．下列等式中，不成立的是 ( )

A.
B.

C.
D.

2.设
是在
上的连续函数，且
，则

( )

A.
B.
C.
D.

3.设
，则
( )

A.
B.
C.
D.

4.下列函数中，在闭区间[-1，1]上满足罗尔中值定理条件的是

A.
B.
C.
D.

5.已知
，则
( )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，每个空3分，共15分）

6.极限
= 。

7.定积分
= 。

8.设函数
，则
= 。

9.若函数
在
处连续，则
= 。

10.微分方程
的通解是 。

三、计算题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

11.求极限
。

12．求极限
。

13．已知
，求
。

14．设函数
是由方程
所确定的隐函数，求
。

15．计算不定积分
。

16．计算定积分
。

17．求由两条曲线
及两条直线
所围成的平面图形绕
轴旋转而成的旋转体体积。

18.计算二重积分
,其中积分区域
。

19.求微分方程
满足初始条件
的特解。

20.已知
，求全微分
。

四、综合题（本大题共3小题，第21小题8分，第22、23小题各6分，共20分）

21.设
，

（1）求
的单调区间及极值；

（2）求
的闭区间
上的最大值和最小值。

22.证明：当
时，
。

23.已知
，且
，求
。

参考答案：

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

1.D 2.B 3.C 4.C 5.A

二、填空题（本大题共5小题，每个空3分，共15分）

6.1 7.0 8.
9.
10.

三、计算题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

11. 【解析】

12. 【解析】

13. 【解析】

14.【解析】解法一：设
，则

故

方法二：方程
可写为

视
，上式两边对
求导得

，

即
，

所以
，推出

15.【解析】

16.【解析】令
，则

17．【解析】由两条曲线
及两条直线
所围成的平面图形如图

所示（要画出草图，不画图不扣分），依题意，旋转体的体积为

18．【解析】采用极坐标变换
，则

=

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-1



1







-

0

+

0

-





下降

极小值

上升

极大值

下降



可知极小值

极大值

（2）因
在[0，2]上连续，由（1）知
在（0，2）内可导，且在（0，2），内只有一个驻点
（极大值点），因
，且

故
在闭区间[0，2]上的最大值为
，最小值为

22．【证明】设
则

由拉格朗日中值定理知，存在一点
，使

，即
，

又因
，故

23．【解析】应用分部积分法

由题意有

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