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专题 恒成立存在性问题

知识点梳理

1、恒成立问题的转化：
恒成立

；

2、能成立问题的转化：
能成立

；

3、恰成立问题的转化：
在M上恰成立

的解集为M

另一转化方法：若
在D上恰成立，等价于
在D上的最小值
，若

在D上恰成立，则等价于
在D上的最大值
.

4、设函数
、
，对任意的
，存在
，使得
，则

5、设函数
、
，对任意的
，存在
，使得
，则

6、设函数
、
，存在
，存在
，使得
，则

7、设函数
、
，存在
，存在
，使得
，则

8、若不等式
在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数
和图象在函数
图象上方；

9、若不等式
在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数
和图象在函数
图象下方；

题型一、常见方法

1、已知函数
，
，其中
，
．

1）对任意
，都有
恒成立，求实数
的取值范围；

2）对任意
，都有
恒成立，求实数
的取值范围；

2、设函数
，对任意
，都有
在
恒成立，求实数
的取值范围．

3、已知两函数
，
，对任意
，存在
，使得
，则实数m的取值范围为

题型二、主参换位法(已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数)

1、对于满足
的所有实数p,求使不等式
恒成立的x的取值范围。

2、已知函数
是实数集
上的奇函数，函数
是区间
上的减函数，

(Ⅰ)求
的值；(Ⅱ)若
上恒成立，求
的取值范围；

题型三、分离参数法（欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来）

1、当
时，不等式
恒成立，则
的取值范围是 .

题型四、数形结合（恒成立问题与二次函数联系（零点、根的分布法））

1、若对任意
,不等式
恒成立，则实数
的取值范围是________

2、已知函数
，在
恒有
，求实数
的取值范围。

题型五、不等式能成立问题（有解、存在性）的处理方法

若在区间D上存在实数
使不等式
成立,则等价于在区间D上
；

若在区间D上存在实数
使不等式
成立,则等价于在区间D上的
.

1、存在实数
，使得不等式
有解，则实数
的取值范围为______。

2、已知函数
存在单调递减区间，求
的取值范围

小结：

恒成立与有解的区别

恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可混为一体。

①不等式
对
时恒成立
，
。即
的上界小于或等于
；

②不等式
对
时有解
，
。 或
的下界小于或等于
；

③不等式
对
时恒成立
，
。即
的下界大于或等于
；

④不等式
对
时有解
，
.。 或
的上界大于或等于
；

课后作业：

1、设
，若对于任意的
，都有
满足方程
，这时
的取值集合为（ ）

（A）
（B）
　 （C）
（D）

2、若任意满足
的实数
，不等式
恒成立，则实数
的最大值是 ___ .

3、不等式
有解，则
的取值范围是

4、不等式
在
内恒成立，求实数a的取值范围。

5、已知两函数
，
。

（1）对任意
，都有
)成立，求实数
的取值范围；

（2）存在
，使
成立，求实数
的取值范围；

（3）对任意
，都有
，求实数
的取值范围；

（4）存在
，都有
，求实数
的取值范围；

6、设函数
.

（Ⅰ）求函数
的单调区间和极值；

（Ⅱ）若对任意 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 x－－2ln x

右边为 f (x) 当 p = 1 时的表达式，故在 [1,e] 递增

∴ f (x)≤x－－2ln x≤e－－2ln e = e－－2 < 2，不合题意。 ………… 12分

③ p≥1 时，由 (II) 知 f (x) 在 [1,e] 连续递增，f (1) = 0 < 2，又g(x) 在 [1,e] 上是减函数

∴ 本命题 ( f (x)max > g(x)min = 2，x ( [1,e]

( f (x)max = f (e) = p (e－)－2ln e > 2

( p >  ………… 13分

综上，p 的取值范围是 (,+() ………… 14分

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