电磁学习题和答案[1]

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第八章静电场

8.1 真空中有两个点电荷M、N，相互间作用力为，当另一点电荷Q移近这两个点电荷时，M、N两点电荷之间的作用力?

(A) 大小不变，方向改变． (B) 大小改变，方向不变．

8.2 关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是：

(A) 如果高某某上处处为零，则该面内必无电荷．

(B) 如果高某某内无电荷，则高某某上处处为零．

(D) 如果高某某内有净电荷，则通过高某某的电通量必不为零．

［ D ］

8.3有一边某某为a的正方形平面，在其中垂线上距中心O点a/2处，有一电荷为q的正点电荷，如图所示，则通过该平面的电场强度通量为

(A) ． (B)

8.4面积为S的空气平行板电容器，极板上分别带电量±q，若不考虑边缘效应，则两极板间的相互作用力为

(A)． (B) ．

8.5一个带正电荷的质点，在电场力作用下从A点经C点运动到B点，其运动轨迹如图所示．已知质点运动的速率是递增的，下面关于C点场强方向的四个图示中正确的是：［ D ］

8.6如图所示，直线MN长为2l，弧OCD是以N点为中心，l为半径的半圆弧，N点有正电荷＋q，M点有负电荷-q．今将一试验电荷＋q0从O点出发沿路径OCDP移到无穷远处，设无穷远处电势为零，则电场力作功

(A) A＜0 , 且为有限常量． (B) A＞0 ,且为有限常量．

8.7静电场中某点电势的数值等于

(A)试验电荷q0置于该点时具有的电势能．

(B)单位试验电荷置于该点时具有的电势能．

(C)单位正电荷置于该点时具有的电势能．

(D)把单位正电荷从该点移到电势零点外力所作的功．［ C ］

8.8已知某电场的电场线分布情况如图所示．现观察到一负电荷从M点移到N点．有人根据这个图作出下列几点结论，其中哪点是正确的？

(A) 电场强度EM＜EN． (B) 电势UM＜UN．

［ C ］

8.9 电荷为＋q和－2q的两个点电荷分别置于x＝1 m和x＝－1 m处．一试验电荷置于x轴上何处，它受到的合力等于零？

解：设试验电荷置于x处所受合力为零，即该点场强为零．

2分

得 x2－6x+1=0, m

因点处于q、－2q两点电荷之间，该处场强不可能为零．故舍去．得

m 3分

8.10 如图所示，真空中一长为L的均匀带电细直杆，总电荷为q，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d的P点的电场强度．

解：设杆的左端为坐标原点O，x轴沿直杆方向．带电直杆的电荷线密度为?=q / L，在x处取一电荷元dq = ?dx = qdx / L，它在P点的场强：

2分

总场强为 3分

方向沿x轴，即杆的延长线方向．

8.11 一个细玻璃棒被弯成半径为R的半圆形，沿其上半部分均匀分布有电荷+Q，沿其下半部分均匀分布有电荷－Q，如图所示．试求圆心O处的电场强度．

解：把所有电荷都当作正电荷处理. 在?处取微小电荷 dq = ?dl = 2Qd? / ?。它在O处产生场强

按?角变化，将dE分解成二个分量：

对各分量分别积分，积分时考虑到一半是负电荷

＝0

所以：

8.12 带电细线弯成半径为R的半圆形，电荷线密度为?=?0sin?，式中?0为一常数，?为半径R与x轴所成的夹角，如图所示．试求环心O处的电场强度．

解：把所有电荷都当作正电荷处理. 在?处取微小电荷dq = ?dl = 2Qd? / ?，它在O处产生场强

2分

按?角变化，将dE分解成二个分量：

　　　　　　 3分

对各分量分别积分，积分时考虑到一半是负电荷

　　　　　　　＝0 2分

2分

所以 1分

8.13 真空中两条平行的“无限长”均匀带电直线相距为a，其电荷线密度分别为－?和＋?．试求：

(1) 在两直线构成的平面上，两线间任某某的电场强度(选Ox轴如图所示，两线的中点为原点)．

(2) 两带电直线上单位长度之间的相互吸引力．

解：(1) 一根无限长均匀带电直线在线外离直线距离ｒ处的场强为：

E=? / (2??0r) 2分

根据上式及场强叠加原理得两直线间的场强为

，方向沿x轴的负方向 3分

(2) 两直线间单位长度的相互吸引力

F=?E=?2 / (2??0a) 2分

8.14如图所示，一电荷面密度为?的“无限大”平面，在距离平面a处的一点的场强大小的一半是由平面上的一个半径为R的圆面积范围内的电荷所产生的．试求该圆半径的大小．

解：电荷面密度为?的无限大均匀带电平面在任意点的场强大小为

E=? / (2?0) 2分

以图中O点为圆心，取半径为r→r＋dr的环形面积，其电量为

dq = ?2?rdr 2分

它在距离平面为a的一点处产生的场强

2分

则半径为R的圆面积内的电荷在该点的场强为

2分

由题意,令E=? / (4?0)，得到R＝ 2分

8.15真空中一立方体形的高某某,边某某a＝0.1 m，位于图中所示位置．已知空间的场强分布为：

Ex=bx , Ey=0 , Ez=0．常量b＝1000 N/(C·m)．试求通过该高某某的电通量．

解：通过x＝a处平面1的电场强度通量：?1 = -E1 S1= -b a3

通过x = 2a处平面2的电场强度通量： ?2 = E2 S2 = ?b a3

其它平面的电场强度通量都为零．因而通过该高某某的总电场强度通量为??=??1+??2 = ?b a3-b a3 = b a3 =1 N·m2/C

8.16图中虚线所示为一立方形的高某某，已知空间的场强分布为： Ex＝bx，Ey＝0, Ez＝0．

高某某边某某a＝0.1 m，常量b＝1000 N/(C·m)．试求该闭合面中包含的净电荷．(真空介电常数?0＝8.85×10-12 C2·N-1·m-2 )

解：设闭合面内包含净电荷为Q．因场强只有x分量不为零，故只是二个垂直于x轴的平面上电场强度通量不为零．由高斯定理得：-E1S1+ E2S2=Q / ?0 ( S1 = S2 =S )

则 Q =??0S(E2- E1) =??0Sb(x2- x1)

= ?0ba2(2a－a) =?0ba3 = 8.85×10-12 C

8.17实验表明，在靠近地面处有相当强的电场，电场强度垂直于地面向下，大小约为100 N/C；在离地面1.5 km高的地方，也是垂直于地面向下的，大小约为25 N/C．

(1) 假设地面上各处都是垂直于地面向下，试计算从地面到此高度大气中电荷的平均体密度；

(2) 假设地表面内电场强度为零，且地球表面处的电场强度完全是由均匀分布在地表面的电荷产生，求地面上的电荷面密度．(已知：真空介电常量＝8.85×10-12 C2·N-1·m-2)

解：(1) 设电荷的平均体密度为?，取圆柱形高某某如图(1)(侧面垂直底面，底面?S平行地面)上下底面处的场强分别为E1和E2，则通过高某某的电场强度通量为：

·＝E2?S-E1?S＝(E2-E1) ?S 2分

高某某S包围的电荷∑qi＝h?S? 1分

由高斯定理(E2－E1) ?S＝h?S??/( 0 1分

∴ ＝4.43×10-13 C/m3 2分

(2) 设地面面电荷密度为(．由于电荷只分布在地表面，所以电力线终止于地面，取高某某如图(2) 。由高斯定理 ·=

-E?S=

∴ ( =－( 0 E＝－8.9×10-10 C/m3

8.18 图示一厚度为d的“无限大”均匀带电平板，电荷体密度为?．试求板内外的场强分布，并画出场强随坐标x变化的图线，即E—x图线(设原点在带电平板的中央平面上，Ox轴垂直于某某)．

解：由电荷分布的对称性可知在中心平面两侧离中心平面相同距离处场强均沿x轴，大小相等而方向相反．

在板内作底面为S的高斯柱面S1（右图中厚度放大了）, 两底面距离中心平面均为(x(, 由高斯定理得

则得

即 ? 4分

在板外作底面为S的高斯柱面S2两底面距中心平面均为，由高斯定理得

则得

即， 4分

E~ x 图线如图所示． 2分

8.19如图所示，一厚为b的“无限大”带电平板，其电荷体密度分布为?＝kx (0≤x≤b )，式中k为一正的常量．求：

(1) 平板外两侧任某某P1和P2处的电场强度大小；

(2) 平板内任某某P处的电场强度；

(3) 场强为零的点在何处？

解： (1) 由对称分析知，平板外两侧场强大小处处相等、方向垂直于某某且背离平面．设场强大小为E．

作一柱形高某某垂直于某某．其底面大小为S，如图所示．

按高斯定理，即

得到 E = kb2 / (4?0) (板外两侧)

(2) 过P点垂直平板作一柱形高某某，底面为S．设该处场强为，如图所示．按高斯定理有

得到 (0≤x≤b)

(3) =0，必须是，可得

8.20 一球体内均匀分布着电荷体密度为?的正电荷,若保持电荷分布不变,在该球体挖去半径为r的一个小球体,球心为,两球心间距离,如图所示. 求:

在球形空腔内,球心处的电场强度.

在球体内P点处的电场强度.设、O、P三点在同一直径上，且.

解：挖去电荷体密度为??的小球，以形成球腔时的求电场问题，可在不挖时求出电场，而另在挖去处放上电荷体密度为－?的同样大小的球体，求出电场，并令任意点的场强为此二者的叠加，即可得

2分

在图(a)中，以O点为球心，d为半径作球面为高某某S，则可求出O(与P处场强的大小.

有 E1O’＝E1P=

方向分别如图所示. 3分

在图(b)中，以O(点为小球体的球心，可知在O(点E2=0. 又以O( 为心，2d为半径作球面为高某某S( 可求得P点场强E2P

3分

求O(点的场强 . 由图(a)、(b)可得

EO’ = E1O’ =，方向如图(c)所示. 2分

(2)求P点的场强.由图(a)、(b)可得

方向如(d)图所示. 2分

8.21 如图所示，两个点电荷＋q和－3q，相距为d. 试求：

(1) 在它们的连线上电场强度的点与电荷为＋q的点电荷相距多远？

(2) 若选无穷远处电势为零，两点电荷之间电势U=0的点与电荷为＋q的点电荷相距多远？

解：设点电荷q所在处为坐标原点O，x轴沿两点电荷的连线．

(1) 设的点的坐标为，则

? 3分

可得

解出 2分

另有一解不符合题意，舍去．

(2) 设坐标x处U＝0，则

得 d- 4x = 0, x = d/4

8.22 图中所示为一沿x轴放置的长度为l的不均匀带电细棒，其电荷线密度为?＝?0 (x-a)，?0为一常量．取无穷远处为电势零点，求坐标原点O处的电势．

解：在任意位置x处取长度元dx，其上带有电荷dq=?0 (x－a)dx 。它在O点产生的电势

O点总电势

2分

8.23 电荷q均匀分布在长为2l的细杆上，求在杆外延长线上与杆端距离为a的P点的电势(设无穷远处为电势零点)．

解：设坐标原点位于杆中心O点，x轴沿杆的方向，如图所示．细杆的电荷线密度?＝q / (2l)，在x处取电荷元dq = ?dx＝qdx / (2l)，它在P点产生的电势为

4分

整个杆上电荷在P点产生的电势

4分

8.24 电荷q均匀分布在长为2l的细杆上，求杆的中垂线上与杆中心距离为a的P点的电势(设无穷远处为电势零点)．

解：设坐标原点位于杆中心O点，x轴沿杆的方向，如图所示. 杆的电荷线密度?=q / (2l)．在x处取电荷元dq．

dq = ldx = qdx / (2l) 它在P点产生的电势

4分

整个杆上电荷产生的电势

4分

8.18两个带等量异号电荷的均匀带电同心球面，半径分别为R1＝0.03 m和R2＝0.10 m．已知两者的电势差为450 V，求内球面上所带的电荷．

解：设内球上所带电荷为Q，则两球间的电场强度的大小为

(R1＜r＜R2）

两球的电势差

∴ ＝2.14×10-9 C

8.25电荷以相同的面密度??分布在半径为r1＝10 cm和r2＝20 cm的两个同心球面上．设无限远处电势为零，球心处的电势为U0＝300 V．

(1) 求电荷面密度?．

(2) 若要使球心处的电势也为零，外球面上应放掉多少电荷？

［?0＝8.85×10-12 C2 /(N·m2)］

解：(1) 球心处的电势为两个同心带电球面各自在球心处内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。电流为：，（顺时针流动）

在B、C两点间取一段电路，如下左图，根据一段含源电路的欧姆定律得：

2）、K闭和后，设三个支路中电流分别为，和，其参考方向如上右图表示。因为A、B两点电势相等，则根据一段含源电路的欧姆定律得：

代入数值后：，。解得，。

又因为：，所以：。

再根据一段含源电路的欧姆定律得：

所以：

11.9利用下图所示电路可以测量待测电动势?x. 图中G为电流计，D为滑线变阻器，?0为工作电源的电动势且?0 > ?x．说明如何操作, 并需要知道什么数据才能得到测量结果.

答：调节滑线电阻的滑动头M，使电流计G指示为零、即达到I = 0． 2分

设这时FM间的电阻为Rx，则由含源电路欧姆定律得

?x = I0Rx

若I0和Rx已知，则由上式可确定待测电动势?x． 3分

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