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小学数学问题解决的概述与教学内容结构

曹某某

各位老师：大家好，非常高兴借助小盒科技平台和大家进行线上的交流。今天我们探讨的主题是小学数学问题解决教学的探索性实践研究。

问题解决概述

1.背景

我们先对问题解决做一个概述，它的背景：问题解决是国际数学课程改革经久不衰的口号。大家知道早在上世纪六十年代，曾经发生于美国，后来席卷全球的数学教育现代化运动，折腾了十多年，人们发现学生的数学基础反而下降了。比如说，纽约时报曾经刊登过一篇著名的文章，标题是张某某为什么不会算。举了一个典型的例子，一个小女孩知道8×7=7×8，那么7×8、8×7等于多少？不知道，不会算。所以到了七十年代又提“回归基础”的口号。想要回归基础不是数学课程改革的长远目标。所以到了八十年代，开始提问题解决，没想到这个口号是长命的。提出以后不久就被世界各国所接受，一直延续到现在。问题解决仍然是世界各国数学课程改革的主要改进方向之一。那么我们国家的数学课程标准从零一年的实验稿开始，总目标四个方面，知识技能、数学思考，第三个就是问题解决，当然还有情感态度价值观。很多学科羡慕我们数学，觉得问题解决是最具数学学科特征的、无可争议的关键能力。比如物理、化学，他们觉得实验能力算关键能力吗？好像学科特征并不明显。物理也是实验，化学也是实验，生物还是实验，所以非常羡慕我们数学学科。然而坦率地说，问题解决又是课改以来破而未立、相对模糊的领域。为什么这么说呢？我们课改前，原来的教学大纲，每个学期教学哪些应用题有明确的内容规定。后面教学目标、内容改成每个学年给出。那么每一年每一个年级教学哪些应用题同样是有内容规定的。然而课改以来，应用题改成实际问题，无论是零一年的课程标准实验稿，还是2011版的数学课程标准，都只有目标，没有具体的教学内容。比如说，现在大家看到的是课程标准2011版第二阶段问题解决的教学目标。1.尝试从日常生活中发现并提出简单的数学问题，并应用一些知识加以解决，没有提具体哪些问题。能探索、分析和解决简单问题的有效方法，了解解决问题方法的多样性，经历与他人合作交流解决问题的过程。尝试解决是解释自己的思考过程，能回顾解决问题的过程，初步判断结果的合理性，只是对问题解决做了一个定性的要求的陈述。那么问题解决到底设计哪些问题解决没有效的。所以我们说这是一个这是深入探索实践重构体系的领域。也正是以这个原因，所以我们选择这个专题和我们各地的老师打开交流探讨。

2.解决问题与问题解决

很多老师问我，课标实验稿称解决问题，课标2011版称问题解决。这两个词组到底有没有区别？那么从语法的角度来讲解决问题是一种动宾词组，它的涵义比较单一，一个问题你把它解决了。那么问题解决翻译味浓，好像有点有悖汉语的习惯倒装。那么倒装以后，你可以看作偏正词组“问题的解决”这样理解，那么它和解决问题一回事，可以说是同意。但是倒装以后，它又可以看作省略成分的短语。比如说“问题及其解决”，等等。那么这样一来，我们发现“问题”与“解决”并列了，当然，内涵就更为丰富了。请问为什么问题和解决要并列？我想电脑前的每位老师都应该能够联想，我们数学课程标准2011版修改以后，我们这门学科的课程目标由从两能发展为四能，也就是要求学生不仅能分析问题、解决问题，还要求学生能发现问题、提出问题。因此，问题和解决并列与四能的目标相一致，这是我个人的理解。由学生“提出问题 解决问题”应该常态化。那么这一方面我们目前各套教材、各地的老师都在努力，以后有机会我们再来展开专题的研讨。

3.“问题解决”的内涵与分类

第三个问题，问题解决它的内涵以及外延分类。对于问题解决的内涵，到底什么是问题解决，可以说是仁者见仁，智者见智。很多学生提出了自己的观点，比如最早认为问题解决是数学活动的过程，也有的说问题解决是一种重要的能力，显然都某某对的。还有的说问题解决本质上是数学学习的目的。此外，从课堂教学的角度来讲问题解决也可以成为一种教学的模式。那么其实学习心理学早就把问题解决界定为一种高端的学习方式，对问题解决的学习方式做过比较系统的研究。那么其实如果我们能够摆脱非此即彼的思维方式。什么叫非此即彼？小孩看电视最喜欢问的一个问题，谁是好的，谁是坏的，是吧？摆脱了非此即彼的思维方式。你就会发现其实现在列出的五种说法各说各的，他们其实是相通的。我们来看，这五种说法之间的内在联系。问题解决是数学活动的过程。在这个过程中培养了一种重要的能力，正因为重要所以它成为了数学学习的目的。那么怎么使这个目的能够落实呢？那就需要开发一种相应的教学模式。当然，我们希望不仅这个老师教学采用这种模式，最好它也成为学生的一种学习方式。那么这么一解释我们就发现，原来这五种不同角度的诠释自己。实际上，尽管似乎各从一个层面来说，但实际上是相通的。我们说问题解决成为一种学习方式，它是发现高阶思维的学习方式，也是我们当前正在探讨的走向深度学习的学习方式。这是关于问题解决的内涵，我们就不再展开了。那么它的外延，我这里取这两种界定，把它划分为两大类。第一类，获取数学知识过程中的问题解决。第二类，应用数学知识过程中的问题。那么还可以进行二级分类。比如应用知识的问题解决，还可以分成常规问题解决，非常规数学问题解决。那么实际上多数学者认为，我们所讨论的问题解决是指非常规数学问题解决。那么对于这样的一种观点，我认为这种狭义的问题解决观不适合小学数学。因为小学数学非常规的问题不多，我们要么就是打好数学的基础，运用数学的基础知识，首先是解决一些常规的数学问题，所以呢，我主张。小学阶段采用这样的分类，比较切合我们小学阶段的设计。二、典型案例

那么下面我想就这个分类，三类各举一个实例。给我们老师一个整体的印象看看，问题解决在我们小学数学的课堂教学中，到底它的全貌是什么样的？这就是我们今天的第二个内容典型案例。我们不再纠缠名词、术语。因为我始终认为，一个典型的、鲜活的案例胜过一打理论说明。

1. 获取数学知识过程中的问题解决

以速度概念及其数量关系的教学为例

先说获取数学知识过程中的问题解决。我们以速度概念及其数量关系的教学为例，这是任何一套小学数学教材都有的内容。

“速度”概念的教学

我们先来看教材，这是人教版举了两个例子。一辆汽车每小时行70千米，问4小时行多少千米？一个人骑自行车，每分钟行225米，10分钟行多少千米？速度举了两个例子。然后解答以后，概括：一共行了多少长的路叫做路程。其实路程和时间这两个概念无需解释，学生平时就在用，那么速度是需要的，那么教材说每小时或每分钟等，行的路程叫做速度。那么我们老师还会概括单位时间行的路程叫做速度。最后总结出数量关系式，速度×时间=路程。通常是用乘法的形式给出三量之间的关系。我们说这样的一个教材设计。它采用的是举例说明概念。通过问题解决归纳总结出关系式。那么比如说苏教版也是采用这样的一种设计。你看两个例子。一个和人教版一样，自行车、还有一个汽车变成了高铁。同样举例说明。这个每分200米是速度可以怎么写？然后通过问题解决解答的结果，填表总结出关系式，路程=速度×时间，那么和人教版区别只是等号左右两边换一下，这是一种处理方式。两套教材趋同的，那么这种处理方式，实践下来有什么不太理想的地方？那就是你这里给出的上面汽车每小时行的路程叫速度，可以写成70千米/时，读作70千米每时，这个是速度概念的表现形式。速度概念的形式，用孩子的话来说就是表示快慢。那么怎么表示快慢呢？我们应该让学生体会这个快慢，它是由两个量决定的。理解了以后，学生会用自己的语言来建构它的意义，那就是要跑得多，同时要用时少，既要跑得多，又要用时少才快。那么，显然得出这样的感悟。靠举例是很难实现的，所以只是举例，你要让学生体会两个量决定跑的多用时少比较困难。因此，我们看到有的教材，比如北师大版的。他速度概念的得出，是通过三个小动物竞走给出成绩表。当你比较谁竞走得最快？也就是说这个速度概念是通过问题解决得出的。通过问题解决得出速度的概念，数量关系式也是速度=路程÷时间。我们说中国的小学生，二年级表内乘除法阶段就对乘除法的关系了熟于心，因为我们一句口诀要算两道乘法两道除法，所以你说把这个除法的关系式改写成另外一个除法关系式和乘法关系式，对他们来说不构成困难，很容易解决的。所以我认为关系式采用这种形式给出突出速度。它是由两个量决定的有好处。那么这个情景设计设计下来，有一美中不足，就是数据小了一点。比如小兔三分钟240米。学生立即反应，每分钟80米。为什么？三八二十四，这是中国小学生的特点，乘法口诀基本上人人都了熟于心。所以240÷3，这个印象不够深刻。针对这个问题，我们看到这是上海的沪教版，他给出的数据就比较大了，你比如544m8分钟。不做除法根本就算不出每分钟多少米。绝大多数同学需要笔算。甚至要竖式。好，我们看到现在大家看到的两种教材。他们是通过问题解决得出概念关系式。下面，我们就以这个上海版教材为例，介绍上海老师的教学设计。教材提供的这个情景很好，富有童趣，那就采用教材的情景。让学生根据已知的条件信息、提问题，落实四能。那么这个情景一般的学生，哪怕是基础不太理想的学生，也都能提5个问题。三个动物，两两比较三个。谁最快？谁最慢？一共五个问题。然后老师说每人选择一个问题回答。写清楚你选择谁和谁比，结果是什么，把你比较的过程写在空白处。学生独立思考完成了以后，当然做的快了，可以再回答一个问题。然后交流比较的方法和结果。老师对交流是有所干预的，也就是有组织的。老师说我们先来汇报不用计算就能直接比较谁快谁慢的有吗？同学说有。牛熊都用了八分钟，时间相同只要看谁跑的路程多谁就跑得快，那么象是544，熊某某432，所以象比熊某某。还有牛和熊某某432米，因此只要看谁用的时间少，那就谁就跑得快，两个量决定充分体现了。那么剩下第三队牛某某。时间路程都不相同，怎么比较呢？这也难不倒我们的孩子。很多孩子立即反应，那就算出每分钟跑了多少米？于是就有了笔算除法。等大家笔算完了以后，老师说非得用笔算比较快慢吗？能不能估算呢？那么有学生说可以的，544估成560，560÷8=70米，544比560小，所以每分钟不到70。那么有带了一个头，后面就容易了，432估成420，420÷6=70，因此每分钟超过了70米。笔算、估算都可以得到相同的结论，牛比象快，但这不是直接比较，是通过计算比较算出每分钟跑多少米？那么还剩下两个问题。怎么解决？同学说已经看得出来26分钟在解决这个五个比较快慢的问题当中。呈现了不少的推理。那么老师说。不管哪种情况都可以采用的一般的方法。那就是比较速度，什么叫速度？能说的说说看，不能说的看看书。那么学生说，每分钟、每小时等等行的路程叫做速度。那么总结，数量关系式：路程÷时间=速度。其实这个关系式就是一个广义的数学模型。通过采用问题解决的教学方式或者教学模式，使学生在获得概念和常见数量关系的同时还能发展他们的学科核心素养。

2. 应用数学知识过程中的问题解决

以单价的应用为例

我们再来看应用数学知识过程中的问题解决。联系前面讲的速度，其实在讲速度前面教材已经讲了单价，速度物理学中称之为“平均速率”，我们所说的路程÷时间，物理学中说这是平均速率。显然，单价和速度都含有平均的含义。我们就以单价的应用为例，假设商店把两种巧克力混合成什锦巧克力。哪两种巧克力呢？牛奶巧克力每千克36元，花生巧克力每千克30元。（1）如果两种巧克力各一半，什锦巧克力的单价应该怎么定合理呢？列式：（36+30）÷2=33。把36和30相加除以二各一半，每千克33元。问题继续（2）如果花生巧克力更多，请估计每千克的价钱。学生略作思考，当然也可以同桌交流一下。他们会说，肯定比30元大。为什么呢？因为里面有牛奶巧克力。但是肯定比33元小，为什么呢？因为便宜的花生巧克力更多，牛奶巧克力更少，所以每千克的价钱，单价应该在大于30小于33的范围之内。那么我们说这两个问题，基本上大多数学生跳一跳都够得着。当然进一步还可以拓展、提高、加大挑战性。（3）现在的什锦巧克力3颗中2颗是牛奶巧克力，每千克的单价是多少？那么学有余力的学生思考他们也能解决。列式：（36×2+30）÷3=34。36乘二加30，一个两份一个一份，然后把这三份平均除以三34元每千克。在解决这样这个三个问题过程中非常自然地渗透了加权平均的概念。这是应用数学知识过程中的问题解决。

3.非常规数学问题解决

以“烙饼问题”的教学为例

我们再来举例说明非常规数学问题解决。就以烙饼问题为例。这个烙饼问题，前四年只有人教版数学广角中有。我注意到2013年以后，北师大版教材修改以后，他们的数学好玩里面也有烙饼问题，说明两套教材的编写组在对于这个问题的评价上是趋同的。为什么指出这一点？因为个别的教授对烙饼问题比较感冒，我多次听到说，别烙饼了，烙不出核心素养。对于这样的观点，我不敢苟同。下面我们就来看看烙饼问题的教学。数学问题解决第一步，审题。请问现在你看到了什么？发现了什么？想说什么？31分钟 我把条件、问题用不同颜色圆角框给区分了出来，对吧？那。分清条件和问题。什么意思啊？我们现在数学的审题，胡子眉毛一把抓，看到什么信息啊？信息这个词可以用，但请你引导学生分清条件信息、问题信息。当然分清还不够，还要理解，这么简单的条件需要理解吗？啊，每次最多只能烙两张，两面都要烙，每面三分钟。什么事啊？A na最多只能什么意思啊？哎，这个锅可以烙一张，最多两张。对吧。那么爸爸妈妈和我每人一张什么意思啊？只烙三张了。这个学生说，太小气了，有客人来，越来越脏。对吧，那么问题呢，老师们都知道，尽快。要来学生说一说。对吧？好。你的目标为了尽快呀，对吧，如果没有尽快的要求，那么我一张张烙好了，烙熟为止呀，对吧，那就不用素质和讨论了，唉，为了尽快。优化。好。我们都知道这里所涉及的数学思想方法优化。怎么硬化？充分利用这个锅最多只能烙两张，那么我们探究的结果就是转换对吧，这个探究的过程我就不解释了啊不说了，比如第一锅一号二号。He烙正面。然后呢？这个，敖丙拿走一号饼，翻过来烙反面，换三号饼烙正面。呃，一号饼两面都烙完了，三号丙继续翻过来烙反面。二号饼放进来烙正面。当然，教材为了区分三个饼啊，不仅有下标，还有不同的颜色加以区分。灏。通过这样的优化轮换一下。那么郭始终不空吧，只要九分钟就完成了烙三张饼的任务。啊？这个教学老师、学生、旁观者都有证据。我们老师这里最多的就是。学生，只列式。求出答案可不可以。一面三分钟，两面六分钟。三张饼三六十八。你锅里最多两张除以二。九分钟最快。算出。答，行不行？算是可以的，但这个啊，作为老师应该知道他是理论值。九分钟怎么实现呢？对吧，怎么操作。才能九分钟烙完这三张饼吧，你算出九分钟问题只解决了一半，所以还得要找到操作的办法。啊，冷画的测得出冷汗的策略。这个问题才是解决了，郝老师的正题回到了这里。我两次在上海以外的地区看老师，上这节课也是12绘制，在河北还有一次，两次都有学生。学生问老师。二号禀告了一面，拿走放在国外三分钟在哪？进来会不会半生不熟啊？多好的问题啊。两位老师的回答不一样。大同小异意思就是说。这个数学啊。考虑主要的有些细节呢。就省略了。大家要我评课的时候讲这样的回答对不对？我说对呀，这是数学老师的标准的回答吧，说的完整一点。啊，这就是数学抽象的特点。啊，抽象意味着抓住关键的变量、关键因素，舍弃是次要的。啊，因此确实有一些东西忽略不计，比如我们前面讨论的这个速度吧，路程除以时间，我们都知道。汽车也好，自行车也好，每分钟的这个快慢都在变大，对吧，所以我们得到的其实是一个平均的量，对不对，把这些细节的变化忽略掉了。所以这是对的啊，但是作为实际问题，确实要经得起时间的检验，对吧？数学的检验很简单，你看郭始终不够吧，九分钟是最牛的，那么连续设计的检验呢？是不是三张饼里有一张半生不熟？这怎么行啊？怎么解决？啊，我因为经历过上山下乡，对吧，连续五年自己做饭给自己吃，所以有这个生活经验，警告解决起来很简单。看课件，我再重复一遍。什么意思啊？二号饼烙了一面拿走，谁让你拿到国外去啊？你能不能放在锅内叠在一号屏上保温呐？哦。这个设计问题解决了对吧，所以这个模型呢，其实啊，轮换的模型啊，是经得起检验的啊，那么我的自己是。本科只是优化吗？嗯。其实更为重要的数学思想方法，我认为这节课不管你怎么上，一定要让学生知道。啊，双数盏。是不需要探究的。这两张，四张，六张，八张，老奶奶也知道怎么操作啊。还有你数学过来讨论。对。这是什么数学思想啊？分类讨论。原来。顶的张数啊，根据条件最多只能烙两张，分成两类。一类是双数张，一类呢当属张，那么单数张一张除外啊，我们说的这个战术啊，是大于一的自然数，那么单数探究的三张还要淡定下去吗？幺三后面的单数五五怎么解决？我不是已经解决了吗？两张六分钟三到九分钟，那么五等于三张加两张啊。对不对，三站九分钟，两站六分钟不就加一加15分钟就出来了，对不对，那么后面一个七呢？哦三加二加原来大于三的奇数都可以写成三加若干个二的和。哦，这个问题解决。不仅优化分类讨论。还用到了转化。对吧。多好的。数学化的题材啊。对不对。其实。这里啊还渗透了。这个童话。同于。概念。或者说同一类。我们教材现在是一锅最多两张，如果这个锅大一点一锅最多三张呢？那么哪些战术不用讨论啊？31分钟概念。或者说同一类。我们教材现在是一锅最多两张，如果这个锅大一点一锅最多三张呢？那么哪些张数不用讨论？显然3、6、9、12.3的倍数。那么哪些要讨论？我们可以按除以三余零，这一类不用讨论40。除以三余一，第一个是四。要探讨的。四张怎么优化？第三类，除以三余二五的探讨的。四五探讨好了以后就好像。最多烙两张分两类，只要探讨一个三，那么分三类呢，医药探讨四五。战术这两种情况，这两种情况探讨以后，其他都不用了，下一个除以三一页的竖切。怎么解决？三张加四张呀。在下一个除以三一夜的时。三张。这个这个四张解决了？加三加三。二四加三加三。那么同样的。除以三余二的解决了五张的优化问题，那么下一个除以三余二的吧，再下一个除以三余二的11就转化为五加三。五加三加三。大。说明这道题啊，真的雅俗共赏啊，各种不同层次的学生都能得到。适合自己的发展。对吧，如果你觉得你班的学生基础不好，那么你可以不做这方面的拓展啊。外行的者呢？所。轮换有什么意义啊？我们说数学的结论。你觉得没有用。说不定什么时候别人就有用了。你看胡某某，最初大家都觉得没道理的数啊。叙述虚无缥缈的树啊，后面都有了广泛的应用，现在还离得开他们骂啊。所以我认为这呢。这个能换有什么意义啊？这个是外行啊。那当然也有数学教师的这个证明，那我只能说是内行说外行话啊。很遗憾。我们的老师，包括名师也有个别认同，文化没有什么意义。所以呢，他们的拓展啊就另辟蹊径了。比如有一位老师说。一张饼。数学不能优化，只能证明三分钟，反面三分钟。那就靠技术来优化改进工具啊。就是为什么攻击啊。老师说，请看。双面电饼铛，两面一夹。两名同事了三分钟。上海的老师看到这个设计啊，觉得很有意思，把它移植到我们的课堂上来。哎，热闹了。有的学生说，我们现在家里烙饼不泛滥。电烤箱、电烤炉。那么事实上，哪怕是烙饼的个体户。工具也改进啦。也不用翻了，同样是两面同时落。是不是啊。好。请问这样的投资。还是数学课吧。当然。作为花絮。激发兴趣。调味品，可以的。但是。毕竟误入了非数学问题解决。啊？更离谱的。居然还有杂志给这位老师登出来。这位老师的启发是说是最多两张，你看这个锅是 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 要是这么一些。表现。第二。那么除了何以粉以外，还有比较。我们小学主要研究比差比被。求两数相差多少？求一个数是另一个数的几倍对吧？那么呢，知道了，X可以改变成球一个比，求比一个数多几的数求比一个数少几的数。同样。知道了一个数是另一个数的几倍呢？可以引申出两类问题，那就是求一个数的几倍是多少？已知一个数的几倍是多少？求这个数。对吧，那么这三类显然是用乘除法解决的。比X3类用加减和解决的。老师们说，哎呀，这个产业数量关系我们课给钱。啊，早就有了四。我们说。我们一直反对。教学中出现这些东西。因为这会加重学生的G负担。如果这个学生不理解的话，没用。助长。菜。这种不良习惯。哥。但是。老师应该知道啊，你必须了解啊。对吧。加减法的应用和分。对吧，会有哪些情况。啊，这便于你理解掌握教材，也便于你根据情况。啊补充或者调整练习。那么呢，可以分比较，比差，比被，这个是可以说的。啊，至于具体的这些类型名称啊没有必要。啊，真的，我们多年的实践表明，无论你怎么教，都会加重学生的G负担。那么因为好的学生不需要它，可以根据运算意义来选择算法。那么差的学生？反而会搞糊涂混淆。啊？呃，一会儿说求总数，你嗯仇。说明他根本。

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