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2.1.1 指数与指数幂的运算

-----根式

教学设计



课题名称：指数与指数幂运算——根式



学科年级：

数学 高一

教材版本：

人教A版



一、教学内容分析



指数是学习指数函数的预备知识，初中学生已经学习了整数指数幂的概念及运算性质。为了讲解指数函数，需要把指数的概念扩充到有理数指数幂，实数指数幂；为了完成这个扩充，必须先学习分数指数幂的概念和运算性质，以及无理数指数幂的概念；为了学习分数指数幂的概念，首先要介绍根式的概念，本课主要学习根式的概念以及n次方根的性质。学生已经学习了数的平方根、立方根，根式的内容是这些内容的推广。因此，在引入根式的概念时要结合这些已学内容，列举多个具体例子以便于学生理解。

教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景,先给出两个具体例子:GDP的增长问题和碳14的衰减问题.前一个问题,既让学生回顾了初中学过的整数指数幂,也让学生感受到其中的函数模型,并且还有思想教育价值.后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时,激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲望,为新知识的学习作了铺垫.

本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法,如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂),同时,充分关注与实际问题的结合,体现数学的应用价值.

根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持.



二、学情分析



授课对象为高一学生。首先，这个年龄段的学生学习兴趣浓厚、思维活跃和求知欲强。其次，学生在初中学习阶段已经接触到平方根与立方根、整数指数幂及其运算性质等知识点，为本节学习奠定了基础。但同学们在理解n次方根概念的形成过程中可能会遇到困难，本节学习对学生观察力、逻辑能力、抽象能力有一定要求，这对该阶段的学生可能会造成一定的困难。具体表现在对n次方根定义的理解，特别是n次方根的存在性，以及性质的认识，因为从平方根和立方根到n次方根，是一个特殊到一般化的变化过程，要求同学具有一定的归纳概括能力和抽象能力。要克服这一困难，关键是引导同学建立n次方根与平方根立方根的联系，通过类比平方根立方根，让同学在已有的认知基础上，从具体例子出发，不断观察、比较、模仿、判断，从而形成概念，同时将新知识同化到已有的认知结构中，从而克服可能遇到的困难。



三、教学目标



1．知识与技能

（1）理解n次方根与根式的概念；

（2）正确运用根式运算性质化简、求值；

（3）了解分类讨论思想在解题中的应用.

2．过程与方法

（1）通过师生之间、学生与学生互相交流，使学生逐步学会共同学习；

（2）引导学生认真体会数学知识发展的逻辑合理性、严谨性，做一个具备严谨科学态度的人；

（3）通过探究、思考，培养学生思维迁移能力和主动参与的能力。

3．情感、态度与价值观

（1）新知识的发现是因为面临的问题以原有的知识得不到解决所引发出来的思考，通过学习根式的概念，使学生认清基本概念的来龙去脉，加深对人类认识事物的一般规律的理解和认识，体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣，培养学生严谨的科学精神；

（2）在教学过程中.通过学生的自主探索，来加深理解n次方根的性质，具有探索能力是学习数学、理解数学、解决数学问题的重要方面.



四、教学重点、难点



1．教学重点：（1）根式概念的；

（2）掌握并运用根式的运算性质.

2．教学难点：（1）根式概念的理解.

（2）n次方根性质的理解



五、教学方法



本节概念性较强，为突破根式概念的理解这一难点，使学生易于接受，故可以从初中已经熟悉的平方根、立方根的概念入手，由特殊逐渐地过渡到一般的n次方根的概念，在得出根式概念后，要引导学生注意它与n次方根的关系，并强调说明根式是n次方根的一种表示形式，加强学生对概念的理解，并引导学生主动参与了教学活动.故本节课采用类比发现，学生合作交流，自主探索 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 生在举例过程中的问题．

通过对n为奇数和偶数两种情况讨论，掌握n次方根概念，培养学生掌握知识的准确性、全面性，同时培养学生的分类讨论的能力



根式概念


叫做根式.其中n称为根指数，a为被开方数.

平方根的记法，立方根的记法类比到四次方根，五次方根，n次方根

由特殊到一般，培养学生的观察、归纳、概括的能力



学生探究



合作探究：（1）（
）n的含义是什么？其化简结果是什么呢？

（2）
的含义是什么？其化简结果是什么呢？

教师组织学生结合例题及其解答，进行分析讨论、归纳出以下结论

师：上面的例题中涉及了哪几类问题?

生：主要涉及了

与
的问题.

通过实例探究总结根式的运算性质，使得性质的得出更自然。



发现根式性质

1.

2.n为奇数，

n为偶数,

教师让学生注意讨论n为奇偶数和a的符号,充分让学生多举实例,分组讨论.教师点拨,注意归纳整理.

培养学生类比归纳的能力



随堂练习

例题：求下列各式的值

变式1：下列各式，不正确的序号是（ ）

变式2.若x∈
R，y∈R，下列各式中正确的是( )

A.
=x+y B.
－
=x－y

C.
+
=2x D.
+
=0

学生思考，口答，教师板演、点评.

例题分析：当n为偶数时，应先写
，然后再去绝对值.

组织学生结合前面的例题及其解答，进行分析讨论，解决这一问题要紧扣n次方根的定义．

通过例题的解答，进一步理解根式的概念、性质.



课后探究

数学家将aa,aaa,aaaa等写成
等，那么
写成什么形式呢？又将
写成什么形式呢？

教师设置一个有趣的情境，引发学生对新知探究的渴望，为我们下节课学习分数指数幂打下基础。

在本课的结尾设计这两个问题，作为对这节课内容的巩固与延伸，让学生体会知识的起点与终点都蕴涵着问题，旧的问题解决了，新的问题又产生了.在知识的拓展中再次掀起学生探究的热情.另外它为下节课分数指数幂作了重要的准备



课堂小结

一、知识：

1．
次方根的概念：若
（n＞1且
），则
是
的
次方根。

2.
次方根的性质:

为偶数时，
（
）；

3．根式的运算性质：

（1）

（2）n为奇数，

二、思想方法：

1、类比思想 2、由特殊到一般思想

3、分类讨论思想 4、归纳思想

师：请同学们互相交流一下你在本课学习中的收获.

生：通过讨论，总结本节课学会了哪些知识与思想方法

让学生通过知识性内容的小结，把课堂教学传授的知识尽快化为学生的素质；通过数学思想方法的小结，使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和应用，并且逐渐培养学生的良好的个性品质目标。



八、板书设计



 指数与指数幂的运算

—---根式

知识归纳：

1.n次方根的定义

2.n次方根的性质

3.根式的定义

4.根式的运算性质



九、教学反思



平方根的相关知识是学生比较熟悉的,初中对平方根、立方根的概念、基本性质作了比较系统的研究,因此这节课的引入确定为用平方根、立方根类比归纳出n次方根的概念和性质。增强学生用数学的意识。另外,为了培养学生的理性思维,我分别在引例和问题中,设计了两次由特殊到一般的学习思路,培养学生的归纳概括能力。在问题的设计中,我用探究,纵向挖掘知识深度,横向加强知识间的联系,培养了学生的创新精神,并且使学生的有效思维量加大,随时对所学知识和方法产生有意注意,能力与知识的形成相伴而行,这样的设计不但突出了重点,更使难点的突破水到渠成.??? 本节课以问题为纽带,以探究活动为载体,使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入,充分体现以教师为主导,以学生为主体的指导思想。应用启发式的教学方法把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程,在解决问题的同时锻炼了思维.提高了能力、培养了兴趣、增强了信心。





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