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专题 专项突破-平行线中的“拐点”模型问题

【思维导图】

/

◎【模型一：猪蹄模型】

◎结论1：若AB∥CD，则∠B0C=∠B+∠C

/

【证明】过点 O作OE//AB，如图.

/

∵AB∥CD,

∴OE∥CD,

∴∠B=∠1,∠C=∠2,

∴∠1+∠2=∠B+∠C

即∠BOC=∠B＋∠C.

◎结论2：若∠BOC=∠B+∠C，则AB∥CD.

/

【证明】过点 O作OE∥AB，

则 ∠B=∠1,

∵∠BOC=∠B+∠C，

∠BOC=∠1+∠2，

∴∠1+∠2=∠B+∠C

∴∠C=∠2

∴OE∥DC，

又OE∥AB，

∴AB∥CD.

【例】

1．（2023春·七年级课时练习）如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（???）

/

A．70° B．65° C．35° D．50°

2．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，
，点
在
上，
，
，则下列结论正确的个数是（????）

（1）
；（2）
；（3）
；（4）

/

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【跟踪训练】

1．（2020·湖南·中考真题）如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（　　）

/

A．70° B．65° C．35° D．5°

【变式训练】

变式1．（2023春·全国·七年级专题练习）阅读下面内容，并解答问题．

已知：如图1，
，直线
分别交
，
于点
，
．
的平分线与
的平分线交于点
．

/

(1)求证：
；

(2)填空，并从下列①、②两题中任选一题说明理由．我选择 　　题．

①在图1的基础上，分别作
的平分线与
的平分线交于点
，得到图2，则
的度数为 　　．

②如图3，
，直线
分别交
，
于点
，
．点
在直线
，
之间，且在直线
右侧，
的平分线与
的平分线交于点
，则
与
满足的数量关系为 　　．

变式2．（2023春·七年级课时练习）问题情境：如图①，直线
，点E，F分别在直线AB，CD上．

/

(1)猜想：若
，
，试猜想
______°；

(2)探究：在图①中探究
，
，
之间的数量关系，并证明你的结论；

(3)拓展：将图①变为图②，若
，
，求
的度数．

◎【模型二：铅笔头模型】

◎结论1：如图所示，AB∥CD，则∠B+∠BOC+∠C=360°

/

【证明】如图，过点 O作 OE//AB.

/

∵AB∥CD, OE//AB//CD.

∴∠B+∠1=180°,∠C+∠2=180°,

∴∠B+∠1+∠2+∠C=360°

∴∠B＋∠BOC+∠C=360°.

◎结论2：如图所示，∠B+∠BOC+∠C=360°，则AB∥CD.

/

【证明】如图，过点 O作EF//AB，

则∠B＋∠1=180°

∵∠B+∠BOC+∠C=360°,

∴∠C+∠2=180°

∴EF∥CD

又∵EF//AB，

∴AB//CD.

“异形”铅笔头：拐点数n,∠A+...+∠C=180°×（n+1）

///

拐点数：1 拐点数：2 拐点数：n

【例】

1．（2023春·七年级课时练习）如图所示，AB∥CD，则∠A+∠E+∠F+∠C等于（???）

/

A．180° B．360° C．540° D．720°

2．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，两直线
、
平行，则
（????）．

/

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交
的延长线于点
，且
，求
的度数．

/

变式3．（2023春·江苏·七年级专题练习）（1）已知：如图（a），直线
．求证：
；

（2）如图（b），如果点C在AB与ED之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么新的猜想？

/

变式4．（2021春·浙江台州·七年级统考期末）如图，已知
于点A，AE∥CD交
于点E，且
于点F．

/

求证：
．

证明：∵
于点A，
于点F，（已知）

∴
．（垂直的定义）

∴AD∥EF，（????）

∴__________
（????）

∵AE∥CD，（已知）

∴
________．（两直线平行，同位角相等）

∵
，

∴
．（等量代换）

/

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