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小专题(六)　构造全等三角形的方法技巧

方法1　利用“角平分线”构造全等三角形

【方法归纳】　因角平分线本身已经具备全等的三个条件中的两个(角相等和公共边相等)，故在处理角平分线问题时，常作以下辅助线构造全等三角形：

(1)在角的两边截取两条相等的线段；

(2)过角平分线上一点作角两边的垂线．

1．如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC＝AB＋CD.

证明：在BC上截取BF＝AB，连接EF.

∵∠ABC、∠BCD的平分线交AD于点E，

∴∠ABE＝∠FBE，∠BCE＝∠DCE，

在△ABE和△FBE中，



∴△ABE≌△FBE.

∴∠BAE＝∠BFE.

∵AB∥CD，

∴∠BAE＋∠CDE＝180°.

∴∠BFE＋∠CDE＝180°.

∵∠BFE＋∠CFE＝180°，

∴∠CFE＝∠CDE.

在△FCE和△DCE中，



∴△FCE≌△DCE.

∴CF＝CD.

∴BC＝BF＋CF＝AB＋CD.

2．如图，已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C，D，求证：PC＝PD.

证明：过点P作PE⊥OA于点E，

PF⊥OB于点F.

∴∠PEC＝∠PFD＝90°.

∵OM是∠AOB的平分线．

∴PE＝PF.

∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°，

∴∠PCE＋∠PDO＝360°－90°－90°＝180°.

而∠PDO＋∠PDF＝180°，

∴∠PCE＝∠PDF.

在△PCE和△PDF中，



∴△PCE≌△PDF(AAS)．

∴PC＝PD.

方法2　利用“截长补短法”构造全等三角形

【方法归纳】　截长补短法的具体做法：在某一条线段上截取一条线段与特定线段相等，或将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。

5．如图，AD∥BC，DC⊥AD，AE平分∠BAD，E是DC的中点．问：AD，BC，AB之间有何关系？并说明理由．

解：AB＝AD＋BC.

理由：作EF⊥AB于F，连接BE.

∵AE平分∠BAD，DC⊥AD，EF⊥AB，AD∥BC，

∴EF＝DE，DC⊥BC.

∵DE＝CE，

∴EC＝EF.

∴Rt△BFE≌Rt△BCE(HL)．

∴BF＝BC.

同理可证：AF＝AD.

∴AD＋BC＝AF＋BF＝AB，

即AB＝AD＋BC.

方法3　利用“倍长中线法”构造全等三角形

【方法归纳】　将中点处的线段延长一倍，然后利用SAS证三角形全等．

6．已知：如图，AD，AE分别是△ABC和△ABD的中线，且BA＝BD.求证：AE＝AC.

证明：延长AE至F，使EF＝AE，连接DF.

∵AE是△ABD的中线，

∴BE＝DE.

∵∠AEB＝∠FED，

∴△ABE≌△FDE.

∴∠B＝∠BDF，AB＝DF.

∵BA＝BD，

∴∠BAD＝∠BDA，BD＝DF.

∵∠ADF＝∠BDA＋∠BDF，∠ADC＝∠BAD＋∠B，

∴∠ADF＝∠ADC.

∵AD是△ABC的中线，

∴BD＝CD.

∴DF＝CD.

又∵AD＝AD，

∴△ADF≌△ADC(SAS)．

∴AC＝AF＝2AE，即AE＝AC.

7．如图，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，点M为BC的中点，求证：DE＝2AM.

证明：延长AM至N，使MN＝AM，连接BN.

∵点M为BC的中点，

∴BM＝CM.

又∵∠BMN＝∠CMA，

∴△AMC≌△NMB(SAS)．

∴AC＝BN，∠C＝∠NBM，∠ABN＝∠ABC＋∠C＝180°－∠BAC＝∠EAD.

又∵BN＝AC＝AD，AB＝EA，

∴△ABN≌△EAD(SAS)．

∴DE＝NA.

∴DE＝2AM.

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