全等三角形解题方法

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略说全等三角形解题方法

证明三角形全等的基本思路

在证明两个三角形全等时，选择三角形全等的五种方法（“SSS”，“SAS”，“ASA”，“AAS”，“HL”）中，至少有一组相等的边，因此在应用时要养成先找边的习惯。如果选择找到了一组对应边，再找第二组条件，若找到一组对应边则再找这两边的夹角用“SAS”或再找第三组对应边某某“SSS”；若找到一组角则需找另一组角（可能用“ASA”或“AAS”）或夹这个角的另一组对应边某某“SAS”；若是判定两个直角三角形全等则优先考虑“HL”。上述可归纳为：

证明三角形全等的方法

１、平移法构造全等三角形

例１如图１所示，四边形中，平分，若，，求证：。

分析：利用角平分线构造三角形，将转移到，而与互补，，从而证得。主要方法是：“线、角进行转移”。

证明：在上截取，

在与中，

∴ ≌（SAS）

∴ ,,

∵ ,

∴ ，

∴ ,

∵ ,

∴ .

２、翻折法构造全等三角形

例２如图２所示，已知中，，，平分，求证：。

证明：∵ 平分，将沿翻折后，点落在上的点，则有，

在与中，

∴ ≌（SAS）

∴ ,,

∵ 已知中，，，

∴ ,

∴ 。

3、旋转法构造全等三角形

例3 如图3所示，已知点、分别在正方形的边与上，并且平分，求证：。

分析：本题要证的和不在同一条直线上，因而要设法将它们“组合”到一起。可将绕点旋转到，则≌，=，从而将转化为线段，再进一步证明即可。证明略。

4、延长法构造全等三角形

例4 如图4所示，在中，，，求证：。

分析：证明一条线段等于另两条线段之和，常用的方法是延长一条短线段使其等于长线段，再证明延长部分与另一短线段相等即可；或者在长线段上截取一条线段等于短线段，再证明余下部分等于另一条短线段。本题可延长至，使，构造≌，然后证明，就可得。

5、截取法构造全等三角形

例5 如图5所示，在中，边上的高为，又，求证：。

分析：欲证明，可以在上截取一线段等于，再证明另一线段等于。如果截取（如图所示），则可认为而沿翻折而来，从而只需证明即可。证明略。

构造全等三角形解题的技巧

全等三角形是初中几何《三角形》中的一个重要内容，是初中生必须掌握的三角形两大知识点之一（全等和相似），在解决几何问题时，若能内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。将其延长一倍，构造△GBD，则△ACD△GBD。

例3 如图5，两个全等的含有、角的三角极ADE和ABC如图放置，E、A、C三点在同一直线上，连接BD，取BD中点M，连接ME、MC

图5

试判断△EMC的形状，并说明理由。

解析：△EMC为等腰直角三角形。

理由：分别延长CM、ED，使其相交于某某N，

可证△BCM△DNM。

则BC=DN，CM=NM。

由于△DEA△ACB，

则DE=AC，AE=BC，

∴DE+DN=AC+AE。

即EN=EC，

则△ENC为等腰直角三角形。

∵CM=NM，

∴EM⊥CN，

则可知△EMC为等腰直角三角形。

注：①本题也可取EC的中点N，连接MN，利用梯形中位线定理来证明。

②亦可连接AM，利用角的度数来证明。

练习1：如图6，在平行四边形ABCD中，E为AD中点，连接BE、CE，∠BEC=，

图6

求证：（1）BE平分∠ABC。

（2）若EC=4，且，求四边形ABCE的面积。

提示：见图中所加辅助线，证△ABE△DFE。

练习2：△ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB的取值范围为多少？

注：延长AD到E，使DE=AD，连接BE。

则△BDE△CDA。

∴BE=AC=5，DE=AD=7。

在△ABE中，BE=5，AE=14。

利用三角形三边关系可求线段AB的取值范围为：9请点击下方选择您需要的文档下载。

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