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课时跟踪检测（七十八） 绝对值不等式

1.(2019·*_**已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|.

(1)若函数f(x)的值域为[2，＋∞)，求实数a的值；

(2)若f(2－a)≥f(2)，求实数a的取值范围.

解：(1)∵|x－1|＋|x－a|≥|(x－1)－(x－a)|＝|a－1|，∴|a－1|＝2，解得a＝3或a＝－1.

(2)由f(2－a)≥f(2)，得3|a－1|－|a－2|≥1，

则或

或解得a≤0或≤a≤2或a＞2，

综上，实数a的取值范围是(－∞，0]∪.

2.已知f(x)＝|2x＋3|－|2x－1|.

(1)求不等式f(x)＜2的解集；

(2)若存在x∈R，使得f(x)＞|3a－2|成某某，求实数a的取值范围.

解：(1)不等式f(x)＜2等价于

或或

解得x＜－ 或－≤x＜0，

∴不等式f(x)＜2的解集是(－∞，0).

(2)∵f(x)≤|(2x＋3)－(2x－1)|＝4，∴f(x)max＝4，

∴|3a－2|＜4，解得－＜a＜2，

∴实数a的取值范围是.

3.(2018·*_**已知函数f(x)＝|x－2|＋k|x＋1|，k∈R.

(1)当k＝1时，若不等式f(x)＜4的解集为{x|x1＜x＜x2}，求x1＋x2的值；

(2)当x∈R时，若关于x的不等式f(x)≥k恒成某某，求k的最大值.

解：(1)由题意，得|x－2|＋|x＋1|＜4.

当x＞2时，原不等式可化为2x＜5，∴2＜x＜；

当x＜－1时，原不等式可化为－2x＜3，∴－＜x＜－1；

当－1≤x≤2时，原不等式可化为3＜4，∴－1≤x≤2.

综上，原不等式的解集为，

即x1＝－，x2＝.

∴x1＋x2＝1.

(2)由题意，得|x－2|＋k|x＋1|≥k在x∈R上恒成某某，

则当x＝2时，不等式3k≥k成某某，∴k≥0.

①当x≤－2或x≥0时，

∵|x＋1|≥1，∴不等式|x－2|＋k|x＋1|≥k恒成某某.

②当－2＜x≤－1时，

原不等式可化为2－x－kx－k≥k，

可得k≤＝－1＋，∴k≤3.

③当－1＜x＜0时，

原不等式可化为2－x＋kx＋k≥k，可得k≤1－，

∴k＜3.

综上，可得0≤k≤3，即k的最大值为3.

4.(2018·全国卷Ⅰ)已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|.

(1)当a＝1时，求不等式f(x)＞1的解集；

(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)＞x成某某，求a的取值范围.

解：(1)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，

即f(x)＝

故不等式f(x)＞1的解集为.

(2)当x∈(0,1)时|x＋1|－|ax－1|＞x成某某，

等价于某某x∈(0,1)时|ax－1|＜1成某某.

若a≤0，则当x∈(0,1)时，|ax－1|≥1，不满足题意；

若a＞0，则|ax－1|＜1的解集为，

所以≥1，故0＜a≤2.

综上，a的取值范围为(0,2].

5.(2018·**_*设函数f(x)＝|x－3|，g(x)＝|x－2|.

(1)解不等式f(x)＋g(x)＜2；

(2)对于实数x，y，若f(x)≤1，g(y)≤1，证明：|x－2y＋1|≤3.

解：(1)解不等式|x－3|＋|x－2|＜2.

①当x＜2时，原不等式可化为3－x＋2－x＜2，可得x＞，所以＜x＜2.

②当2≤x≤3时，原不等式可化为3－x＋x－2＜2，可得1＜2，所以2≤x≤3.

③当x＞3时，原不等式可化为x－3＋x－2＜2，可得x＜，所以3＜x＜.

综上，不等式f(x)＋g(x)＜2的解集为.

(2) 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 质及m＞0，

得f(x)＝＋|x－2m|≥

＝＝＋2m≥2 ＝8，

当且仅当＝2m，即m＝2时取等号.

所以f(x)≥8恒成某某.

(2)f(1)＝＋|1－2m|(m＞0)，

当 1－2m＜0，

即m＞时，f(1)＝1＋－(1－2m)＝＋2m，

由f(1)＞10，得＋2m＞10，化简得m2－5m＋4＞0，

解得m＜1或m＞4，

所以＜m＜1或m＞4；

当1－2m≥0，

即0＜m≤时，f(1)＝1＋＋(1－2m)＝2＋－2m.

由f(1)＞10，得2＋－2m＞10，此式在0＜m≤时恒成某某.

综上，当f(1)＞10时，实数m的取值范围是(0,1)∪(4，＋∞).

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