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8.9切线长定理 练习

A组

一、选择题

1、如图，直线AB、CD、BC分别与⊙??相切于E、F、G，且????//????，若????=6????，????=8????，则????+????的长等于(????) A. 13 B. 12 C. 11 D. 10

2、如图，一把直尺，60°的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺交点，????=3，则光盘的直径是(????)A. 3 B. 3

3

C. 6 D. 6

3

3、如图，PA、PB、CD分别切⊙??于点A、B、E，CD分别交PA、PB于点C、D，下列关系：①????=????；②∠??????=∠??????；③∠??????和∠??????互补；④△??????的周长是线段PB长度的2倍．则其中说法正确的有(????)

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

二、填空题

4、如图，⊙??的半径为1，PA，PB是⊙??的两条切线，切点分别为A，??.连某某OA，OB，AB，PO，若∠??????=60°，则△??????的周长为______．

5、如图，AD、AE、CB均为⊙??的切线，D，E，F分别是切点，????=8，则△??????的周长为______ ．6、如图，已知∠??????=45°，M是OB上的一点，以M为圆心、2?????为半径作⊙??.若点M在OB上运动，则当????=__________cm时，⊙??与OA相切．7、如图，EB，EC是⊙??的两条切线，与⊙??相切于B，C两点，点A，D在圆上．若∠??=46°，∠??????=32°，则∠??的度数是______ °.

三、解答题

8、如图，在????△??????中，∠??=90°，????=6，????=8，⊙??是△??????的内切圆，切点分别为D，E，F．???求：(1)????的长；(2)⊙??的面积．

9、如图，????△??????，∠??=

90

°

，点D为AB上的一点，以AD为直径的⊙??与BC相切于点E，连某某AE．(1)求证：AE平分∠??????；

(2)若????=8，????=4，求AD的长．

如图，PA、PB是⊙??的切线，CD切⊙??于点E，△??????的周长为12，∠??????=60°.求：(1)????的长；(2)∠??????的度数．

B卷

11、如图，????△??????中，∠??????=

90

°

，以BC为直径的⊙??交AB于E，????⊥????交⊙??于D，DE交BC于F，点P为CB延长线上的一点且????=????.延长PE交AC于G，小华得出3个结论：?①????=????;?②????=????;?③????//????.其中正确的有

12、如图所示，已知∠??????=60°，&

??

1

与∠??????的两边都相切，沿??

??

1

方向做&

??

2

与∠??????的两边相切，且与&

??

1

外切，再作&

??

3

与∠??????的两边相切，且与&

??

2

外切，…，如此作下去，&

??

??

与∠??????的两边相切，且与&

??

???1

外切，设&

??

??

的半径为

??

??

，已知

??

1

=1，则

??

2016

= ______ ．

13、如下图，直线AB、BC、CD分别与O相切于??.???.???，且????//????，????=6????，????=8????.求： (1)∠??????的度数；(2)????+????的长；?(3)圆的半径。

14、如图，在Rt△ABC中，∠??????=

90

°

，BD是角平分线，以点D为圆心，DA为半径的⊙??与AC相交于点E  (1)求证：BC是⊙??的切线；(2)若AB=5，BC=13，求CE的长．

15、如图，D为⊙??上一点，点C在直径BA的延长线上，且
．(1)判断直线CD与⊙??的位置关系，并说明理由．(2)过点B作的⊙??切线交CD的延长线于点E，若????=12，????=5，求⊙??的半径长．

答案和解析

1.【答案】D

【解析】【分析】此题主要是考查了切线长定理.从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，且圆心和这点的连线平分两条切线的夹角．根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明∠??????=90°，再根据勾股定理即可求得BC的长，再结合切线长定理即可求解．【解答】解：∵????//????，∴∠??????+∠??????=180°，∵????、BC，AB分别与⊙??相切于G、F、E，∴∠??????=

1

2

∠??????，∠??????=

1

2

∠??????，????=????，????=????，∴∠??????+∠??????=90°，∴∠??????=90°，∴????=

??

??

2

+??

??

2

=10，∴????+????=10(????)．故选D．2.【答案】D

【解析】解：设三角板与圆的切点为C，连某某OA、OB，
由切线长定理知????=????=3，OA平分∠??????，∴∠??????=60°，在????△??????中，????=??????????∠??????=3

3

，∴光盘的直径为6

3

，故选：D．设三角板与圆的切点为C，连某某OA、OB，由切线长定理得出????=????=3、∠??????=60°，根据????=??????????∠??????可得答案．本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线长定理和解直角三角形的应用．3.【答案】D

【解析】解：∵????、PB是⊙??的切线，∴????=????，∠??????=∠??????，故①②正确；∵????、PB、CD是⊙??的切线，∴????=????，????=????，∠??????=∠??????=90°，∴∠??????+∠??????=360°?∠???????∠??????=180°，∴∠??????和∠??????互补，故③正确；∴△??????的周长=????+????+????+????=????+????+????+????=????+????=2????，故④正确．故选：D．根据切线的性质和切线长定理，可判断①②正确；利用四边形的内角和=360°，可判断③正确；将△??????的周长转化为????+????，可判断④正确．本题考查了切线的性质及切线长定理，解答本题的关键是熟练掌握：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．4.【答案】D

【解析】【分析】本题考查了切线的判定与性质、切线长定理、圆周角定理、三角形中位线的性质以及等腰三角形的性质，此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法．连某某OE，CE，由????=????，????=????易得∠??????=∠??????，∠??????=∠??????，然后得出????⊥????，即可得出?①正确；又BC是直径可得∠??????=

90

°

，∠??????=

90

°

，得出????=????，然后得出∠??=∠??????，即可判断出故?②正确；根据????=????，????=????=????，判断出中位线，即可得出?③正确．【解答】

解：连某某OE，CE，∵????=????，????=????，∴∠??????=∠??????，∠??????=∠??????，∵????⊥????，∴∠??????+∠??????=

90

°

，∵∠??????=∠??????，∴∠??????+∠??????=

90

°

，∴∠??????+∠??????=

90

°

，即????⊥????，∴????为⊙??的切线，由已知得GC为⊙??的切线，∴????=????，故?①正确;∵????是直径，∴∠??????=

90

°

，∴∠??????=

90

°

，∵????=????，∴∠??????=∠??????，∵∠??????+∠??=

90

°

，∠??????+∠??????=

90

°

，∴∠??=∠??????，∴????=????，故?②正确;∵????=????，????=????=????，∴????是△??????的中位线，∴????//????，故?③正确．故选D．

5.【答案】3

3

【解析】【分析】本题考查了切线长定理，切线的性质，锐角三角函数定义，等边三角形的判定，熟练掌握切线的性质是解题的关键．根据切线的性质得到????⊥????，????⊥????，OP平分∠??????，????=????，推出△??????是等边三角形，根据锐角三角函数定义得到????=

3

????=

3

，于是得到结论．【解答】解：∵????、PB是半径为1的⊙??的两条切线，∴????⊥????，????⊥????，OP平分∠??????，????=????，而∠??????=60°，∴∠??????=30°，△??????是等边三角形，∴在????△??????中，
，∴△??????的周长=3????=3

3

．故答案为3

3

．6.【答案】16

【解析】【分析】本题主要考查了切线长定理，熟练掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；此题运用线段间的等量代换将周长转化为一条线段长的2倍，得出结论.根据切线长定理得：????=????，????=????，????=????，再由△??????的周长代入可求得结论．【解答】解：∵????、AE、CB均为⊙??的切线，D，E，F分别是切点，∴????=????，????=????，????=????，∵△??????的周长=????+????+????=????+????+????+????，∴△??????的周长=????+????+????+????=????+????=2????，∵????=8，∴△??????的周长为16．故答案为16．7.【答案】44

【解析】解：∵四边形ABCD是⊙??的外切四边形，∴????+????=????+????=22，∴四边形ABCD的周长=????+????+????+????=44，故答案为：44．根据圆外切四边形的对边之和相等求出????+????，根据四边形的周长公式计算即可．本题考查的是切线长定理，掌握圆外切四边形的对边之和相等是解题的关键．8.【答案】2

2

【解析】【分析】连某某MN，N为切点，根据????⊥????可知∠??????=45°，2cm为半径，利用等腰直角三角形中斜边等于直角边的

2

倍解答．【解答】解：连某某MN，∵????⊥????，∠??????=45°，2cm为半径，∴????=

2

????=2

2

????．所以当????=2

2

时，⊙??与OA相切．故答案为2

2

．
9.【答案】99

【解析】【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；从圆外一点引圆的切线，切线长相等．也考查了圆内接四边形的性质．先根据切线长定理得到????=????，则∠??????=∠??????，于是可根据三角形内角和定理可计算出∠??????=

1

2

(180°?∠??)=67°，接着利用平角的定义可计算出∠??????=180°?∠???????∠??????=81°，然后根据圆内接四边形的性质计算∠??的度数．【解答】解：∵????，EC是⊙??的两条切线，∴????=????，∴∠??????=∠??????，∴∠??????=

1

2

(180°?∠??)=

1

2

×(180°?46°)=67°，∴∠??????=180°?∠???????∠??????=180°?67°?32°=81°，∵四边形ABCD为⊙??的内接四边形，对角互补，∴∠??+∠??????=180°，∴∠??=180°?81°=99°．故答案为99．10.【答案】

3

2015

【解析】解：设⊙

??

1

、⊙

??

2

、⊙

??

3

与边OA的切点为G、M、N，连某某

??

1

G、

??

2

??、

??

3

??，则

??

1

??⊥????、

??

2

??⊥????、

??

3

??⊥????，∴

??

1

??//

??

2

??//

??

3

??，∵⊙

??

1

与∠??????的两边都相切，∠??????=60°，∴∠????

??

1

=∠????

??

1

=30°，∵

??

1

??=

??

1

=1，∴??

??

1

=2，∵

??

1

??//

??

2

??，∴△??

??

1

??∽△??

??

2

??，∴

??

1

??

??

2

??

=

??

??

1

??

??

2

，∴

1

??

2

=

2

2+1+

??

2

，∴

??

2

=3，同理得：

3

??

3

=

6

6+3+

??

3

，∴

??

3

=9=

3

2

，…∴

??

2016

=

3

2015

，故答案为：

3

2015

．作辅助线，构建直角三角形，根据相似三角形的性质分别求半径

??

2

、

??

3

、…、并找规律，得出结论．本题考查了切线长定理和切线的性质，本题可以看作是从圆外一点引圆的两条切线，可以得它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．根据此结论与相似的判定定理结合，利用相似三角形的性质依次求圆的半径即可．11.【答案】解：(1)连某某OF；根据切线长定理得：????=????，????=????，∠??????=∠??????，∠??????=∠??????；∵????//????，∴∠??????+∠??????=180°，∴∠??????+∠??????=90°，∴∠??????=90°；(2)由(1)知，∠??????=90°．∵????=6????，????=8????，∴由勾股定理得到：????=

??

??

2

+??

??

2

=10????，∴????+????=????=10????．(3)∵????⊥????，∴????=

?????????

????

=4.8????．

【解析】此题主要是综合运用了切线长定理和切线的性质定理．注意：求直角三角形斜边上的高时，可以借助直角三角形的面积进行计算．(1)根据切线的性质得到OB平分∠??????，OC平分∠??????，????⊥????，再根据平行线的性质得∠??????+∠??????=180°，则有∠??????+∠??????=90°，即∠??????=90°；(2)由勾股定理可求得BC的长，进而由切线长定理即可得到????+????的长；(3)最后由三角形面积公式即可求得OF的长．12.【答案】解：(1)∵????，CE都是圆O的切线，∴????=????，同理????=????，????=????，∴三角形PDE的周长=????+????+????=????+????+????+????=????+????=2????=12，即PA的长为6；(2)∵∠??=60°，∴∠??????+∠??????=120°，∴∠??????+∠??????=360°?120°=240°，∵????，CE是圆O的切线，∴∠??????=∠??????=

1

2

∠??????；同理：∠??????=

1

2

∠??????，∴∠??????+∠??????=

1

2

(∠??????+∠??????)=120°，∴∠??????=180°?120°=60°．

【解析】本题考查的是切线长定理，切线长定理图提供了很多等线段，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长．(1)可通过切线长定理将相等的线段进行转换，得出三角形PCD的周长等于????+????的结论，即可求出PA的长；(2)根据三角形的内角和求出∠??????和∠??????的度数和，然后根据切线长定理，得出∠??????和∠??????的度数和，再根据三角形的内角和求出∠??????的度数．13.【答案】解：(1)连某某OF；根据切线长定理得：????=????，????=????，∠??????=∠??????，∠??????=∠??????；∵????//????，∴∠??????+∠??????=180°，∴∠??????+∠??????=90°，∴∠??????=90°；(2)由(1)知，∠??????=90°．∵????=6????，????=8????，∴由勾股定理得到：????=

??

??

2

+??

??

2

=10????，∴????+????=????=10????．(3)∵????⊥????，∴????=

?????????

????

=4.8????．

【解析】(1)根据切线的性质得到OB平分∠??????，OC平分∠??????，????⊥????，再根据平行线的性质得∠??????+∠??????=180°，则有∠??????+∠??????=90°，即∠??????=90°；(2)由勾股定理可求得BC的长，进而由切线长定理即可得到????+????的长；(3)最后由三角形面积公式即可求得OF的长．此题主要是综合运用了切线长定理和切线的性质定理．注意：求直角三角形斜边上的高时，可以借助直角三角形的面积进行计算．14.【答案】解：(1)因为????△??????的内切圆⊙??，切点分别为点D、E、F，连某某OD，OE，OF，
则????⊥????,?????⊥????,????⊥????，设半径为r，∵∠??=90°，????=4，????=3，∴????=5，∴????=????=3???，????=????=4???，∴4???+3???=5，∴??=1；(2)如图，△??????的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，????=5，????=7，
设△??????的内切圆半径为x，则????=??．根据切线长定理，得????=????=5，????=????=7，????=????=??，????=5+??，????=7+??，根据勾股定理得，(??+5

)

2

+(??+7

)

2

=(5+7

)

2

，整理，得

??

2

+12??=35，所以

??

△??????

=

1

2

?????????=

1

2

(5+??)×(7+??)=

1

2

(

??

2

+12??+35)=

1

2

×(35+35)=35；(3)????．

【解析】本题考查三角形的面积，切线长定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．(1)首先求出AB的长，再连圆心和各切点，利用切线长定理用半径表示BD和A 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 ????=8???，????=????=?????????=6???，∴????+????=8???+6???=10，解得??=2∴????=2；(2)∵⊙??是△??????的内切圆，切点为D，E，F∴????⊥????，????⊥????，∴∠??????=∠??????=90°，又∵∠??=90°，∴∠??????=∠??????=∠??=90°，∴四边形CFOE是矩形，又∵????=????∴四边形CFOE是正方形∴????=????=2∴

??

⊙??

=??

??

2

=??·

2

2

=4??．

【解析】本题主要考查了三角形的内切圆的性质，切线长定理的运用，勾股定理的运用，正确得出四边形ECFO为正方形是解题关键．(1)先由勾股定理求得AB的长，然后根据切线长定理得到????=????，????=????，????=????，然后可设????=????=??，从而得到????=8???，????=6???，再根据????=10可得方程解之可得x的值，即可得CE的值；(2)先证明四边形CFOE是正方形，然后可得圆的半径，从而可得圆的面积．

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