圆的方程复习课

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圆的方程

【考点梳理】

考点一：圆的标准方程

/，其中/为圆心，为半径.

要点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是/.

有关图形特征与方程的转化：

圆心在x轴上：b=0；圆与y轴相切时：；

圆与x轴相切时：；

与坐标轴相切时：；

过原点：.

(2)圆的标准方程/圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点.

(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.

考点二：点和圆的位置关系

如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有

(1)若点在圆上

(2)若点在圆外

(3)若点在圆内

考点三：圆的一般方程

当时，方程/叫做圆的一般方程.为圆心，为半径.

要点诠释：由方程得

(1)当时，方程只有实数解.它表示一个点/.

(2)当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．

(3)当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆.

考点四：几种特殊位置的圆的方程

条件

方程形式

标准方程

一般方程

圆心在原点

过原点

圆心在x轴上

圆心在y轴上

圆心在x轴上且过原点

圆心在y轴上且过原点

与x轴相切

与y轴相切

要点诠释：

圆的标准方程与一般方程的转化：标准方程一般方程.

【典型例题】

若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是（）

A. B.

C. D.

圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1，1)和B(1，3)，则圆C的方程为________．

若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是________．

若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________．

求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程．

已知圆E经过三点A(0，1)，B(2，0)，C(0，－1)，且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为________．

直线和圆的位置关系

【考点梳理】

考点一：点与圆的位置关系

1．点与圆的位置关系：

（1）点P在圆C外；

（2）点P在圆C上；

（3）点P在圆C内。

考点二：直线与圆的位置关系

1.直线与圆的位置关系：

(1)直线与圆相交，有两个公共点；

(2)直线与圆相切，只有一个公共点；

(3)直线与圆相离，没有公共点.

2.直线与圆的位置关系的判定方法：

(1)代数法：

判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解.

如果有解，直线与圆C有公共点；

有两组实数解某某，直线与圆C相交；

有一组实数解某某，直线与圆C相切；

无实数解某某，直线与圆C相离.

(2)几何法：

设直线，圆，圆心到直线的距离记为，则:

当时，直线与圆C相交；

当时，直线与圆C相切；

当时，直线与圆C相离.

要点诠释：

(1)当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得.

(2)当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 y2＝20相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB＝________．

已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.

求：(1)的最大值和最小值；

的最小值；

的最大值和最小值.

已知圆x2＋y2－4ax＋2ay＋20a－20＝0.

(1)求证：对任意实数a，该圆恒过一定点；

(2)/若该圆与圆x2＋y2＝4相切，求a的值．

在平面直角坐标系中，点，直线：与直线：的交点为圆的圆心，设圆的半径为1．

（1）过点作圆的切线，求切线的方程；

（2）过点作斜率为的直线交圆于，两点，求弦的长．

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