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圆的方程

【考点梳理】

考点一：圆的标准方程

/，其中/为圆心，
为半径.

要点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时
，圆的方程就是/.

有关图形特征与方程的转化：

圆心在x轴上：b=0；圆与y轴相切时：
；

圆与x轴相切时：
；

与坐标轴相切时：
；

过原点：
.

(2)圆的标准方程/圆心为
，半径为
，它显现了圆的几何特点.

(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.

考点二：点和圆的位置关系

如果圆的标准方程为
，圆心为
，半径为
，则有

(1)若点
在圆上

(2)若点
在圆外

(3)若点
在圆内

考点三：圆的一般方程

当
时，方程/叫做圆的一般方程.
为圆心，
为半径.

要点诠释：由方程
得

(1)当
时，方程只有实数解
.它表示一个点/.

(2)当
时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．

(3)当
时，可以看出方程表示以
为圆心，
为半径的圆.

考点四：几种特殊位置的圆的方程

条件

方程形式





标准方程

一般方程



圆心在原点







过原点

/





圆心在x轴上







圆心在y轴上







圆心在x轴上且过原点



/



圆心在y轴上且过原点







与x轴相切

/

/



与y轴相切





/



要点诠释：

圆的标准方程与一般方程的转化：标准方程
一般方程.

【典型例题】

若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线
和
轴都相切，则该圆的标准方程是（ ）

A.
B.

C.
D.

圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1，1)和B(1，3)，则圆C的方程为________．

若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是________．

若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________．

求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程．

已知圆E经过三点A(0，1)，B(2，0)，C(0，－1)，且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为________．

直线和圆的位置关系

【考点梳理】

考点一：点与圆的位置关系

1．点
与圆
的位置关系：

（1）点P在圆C外
；

（2）点P在圆C上
；

（3）点P在圆C内
。

考点二：直线与圆的位置关系

1.直线与圆的位置关系：

(1)直线与圆相交，有两个公共点；

(2)直线与圆相切，只有一个公共点；

(3)直线与圆相离，没有公共点.

2.直线与圆的位置关系的 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 、直线、圆；然后对坐标和方程进行代数运算；最后再把代数运算结果“翻译”成相应的几何结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三部曲”.

第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；

第二步：通过代数运算，解决代数问题；

第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.

圆的切线方程常用结论：

(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.

(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.

(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.

(4)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.

(5)求弦长常用的三种方式

1.利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系：

2.联立方程组，解出交点，用两点间距离公式求解。

3.利用弦长公式

直线
与圆的两个交点
将直线方程代入圆的方程，消元后利用与根的系数的关系得弦长

【典型例题】

圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________．

直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是 (　　)

A．相交　　　　　　 B．相切

C．相离 D．不确定，与m的取值有关

已知动直线
:
与圆
：
。

（1）求证:无论
为何值，直线
与圆
总相交；

（2）
为何值时，直线
被圆
所截得的弦长最小并求出该最小值．

已知两圆x2＋y2－2x－6y＋1＝0，x2＋y2－10x－12y＋m＝0.

(1)m取何值时两圆外切？

(2)m取何值时两圆内切？

(3)当m＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．

若圆O1：x2＋y2＝5与圆O2：(x＋m)2＋y2＝20相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB＝________．

已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.

求：(1)
的最大值和最小值；

的最小值；

的最大值和最小值.

已知圆x2＋y2－4ax＋2ay＋20a－20＝0.

(1)求证：对任意实数a，该圆恒过一定点；

(2)/若该圆与圆x2＋y2＝4相切，求a的值．

在平面直角坐标系
中，点
，直线
：
与直线
：
的交点为圆
的圆心，设圆
的半径为1．

（1）过点
作圆
的切线，求切线的方程；

（2）过点
作斜率为
的直线
交圆于
，
两点，求弦
的长．

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