以下为《2最值系列——辅助圆》的无排版文字预览，完整格式请下载

下载前请仔细阅读文字预览以及下方图片预览。图片预览是什么样的，下载的文档就是什么样的。

最值系列之辅助圆

最值问题的必要条件是至少有一个动点，因为是动态问题，所以才会有最值．在将军饮马问题中，折点P就是那个必须存在的动点．并且它的运动轨迹是一条直线，解题策略就是作端点关于折点所在直线的对称即可．

当然，动点的运动轨迹是可以变的，比如P点轨迹也可以是一个圆，就有了第二类最值问题——辅助圆．

在这类题目中，题目很少直接告诉我们动点轨迹是个圆，也很少把这个圆画出来，因此，结合题目给的条件，分析出动点的轨迹图形，将是我们面临的最大的问题．

若已经确定了动点的轨迹圆，接下来求最最值的问题就会变得简单了，比如：如下图，A为圆外一点，在圆上找一点P使得PA最小．

当然，也存在耿直的题目直接告诉动点轨迹是个圆的，比如：

【2017四川XX】

如图，已知圆C的半径为3，圆外一定点O满足OC=5，点P为圆C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA=OB，∠APB=90°，l不经过点C，则AB的最小值为________．

【分析】连某某OP，根据△APB为直角三角形且O是斜边AB中点，可得OP是AB的一半，若AB最小，则OP最小即可．

连某某OC，与圆C交点即为所求点P，此时OP最小，AB也取到最小值．

一、从圆的定义构造圆

圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合．

构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧．

【2014XX中考】

如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN，连某某A’C，则A’C长度的最小值是__________．

【分析】考虑△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN，可得MA’=MA=1，所以A’轨迹是以M点为圆心，MA为半径的圆弧．

连某某CM，与圆的交点即为所求的A’，此时A’C的值最小．

构造直角△MHC，勾股定理求CM，再减去A’M即可．

【2016XX中考】

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是__________．

【分析】考虑到将△FCE沿EF翻折得到△FPE，可得P点轨迹是以F点为圆心，FC为半径的圆弧．

过F点作FH⊥AB，与圆的交点即为所求P点，此时点P到AB的距离最小．由相似先求FH，再减去FP，即可得到PH．

【2019XX中考】

如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）．直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B’．当PB=6时，在直线l变化过程中，求△ACB’面积的最大值．

【分析】考虑l是经过点P的直线，且△ABC沿直线l折叠，所以B’轨迹是以点P为圆心，PB为半径的圆弧．

考虑△ACB’面积最大，因为AC是定值，只需B’到AC距离最大即可．过P作作PH⊥AC交AC于H点，与圆的交点即为所求B’点，先求HB’，再求面积．

【2018相XX区一模】

如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P、Q分别是直线BC、AB上的两个动点，AE=2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连某某PF、PD，则PF+PD的最小值是_________．

【分析】F点轨迹是以E点为圆心，EA为半径的圆，作点D关于BC对称点D’，连某某PD’，PF+PD化为PF+PD’．

连某某ED’，与圆的交点为所求F点，与BC交点为所求P点，勾股定理先求ED‘,再减去EF即可．

二、XX对直角

知识回顾：直径所对的圆周角是直角．

构造思路：一条XX所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以XX为直径 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 圆．

考虑PC+PF是折线段，作点C关于AD的对称点C’，化PC+PF为PC’+PF，当C’、P、F、O共线时，取到最小值．

【辅助圆+相切】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4，D是BC上一动点，CE⊥AD于E，EF⊥AB交BC于点F，则CF的最大值是_________．

【分析】∠AEC=90°且AC为定值，故E点轨迹是以AC为直径的圆弧．

考虑EF⊥AB，且E点在圆上，故当EF与圆相切的时候，CF取到最大值．

连某某OF，易某某△OCF≌△OEF，∠COF=30°，故CF可求．

三、XX对定角

在“XX对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找XX、直角，而根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．XX必不可少，而直角则可一般为定角．例如，AB为定值，∠P为定角，则A点轨迹是一个圆．

当然，∠P度数也是特殊角，比如30°、45°、60°、120°，下分别作对应的轨迹圆．

若∠P=30°，以AB为边，同侧构造等边三角形AOB，O即为圆心．

若∠P=45°，以AB为斜边，同侧构造等腰直角三角形AOB，O即为圆心．

若∠P=60°，以AB为底，同侧构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心．

若∠P=120°，以AB为底，异侧为边构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心．

【例题】如图，等边△ABC边长为2，E、F分别是BC、CA上两个动点，且BE=CF，连某某AE、BF，交点为P点，则CP的最小值为________．

【分析】由BE=CF可推得△ABE≌△BCF，所以∠APF=60°，但∠APF所对的边AF是变化的．

所以考虑∠APB=120°，其对边AB是定值．

所以如图所示，P点轨迹是以点O为圆心的圆弧．（构造OA=OB且∠AOB=120°）

当O、P、C共线时，可得CP的最小值，利用Rt△OBC勾股定理求得OC，再减去OP即可．

【2017山东XX】如图，△ABC为等边三角形，AB=2，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，则线段PB长度的最小值为_________．

【分析】由∠PAB=∠ACP，可得∠APC=120°，后同上例题．

【2019XX中考】在△ABC中，AB=4，∠C=60°，∠A>∠B，则BC的长的取值范围是________．

【分析】先作图，如下

条件不多，但已经很明显，AB是定值，∠C=60°，即XX对定角．故点C的轨迹是以点O为圆心的圆弧．（作AO=BO且∠AOB=120°）

题意要求∠A>∠B，即BC>AC，故点C的轨迹如下图．

当BC为直径时，BC取到最大值，

考虑∠A为△ABC中最大角，故BC为最长边，BC>AB=4．无最小值．

【2019武XX考】如图，AB是圆O的直径，M、N是弧AB（异于A、B）上两点，C是弧MN上一动点，∠ACB的角平分线交圆O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E，当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是_______．

【分析】分别考虑C、E两点的轨迹，C点轨迹上是弧MCN，其对应圆心角为∠MON，半径为OM（或ON）．

再考虑E点轨迹，考虑到CE、AE都是角平分线，所以连某某BE，BE平分∠ABC，可得：∠AEB=135°．

考虑到∠AEB是定角，其对边AB是定线段，根据XX对定角，所以E点轨迹是个圆，考虑到∠ADB=90°，所以D点即为圆心，DA为半径．

E点轨迹所对的圆心角为∠MDN，是∠MON的一半，所以C、E两点轨迹圆半径之比为1：根号2，圆心角之比为2:1，所以弧长比值为根号2．

[文章尾部最后300字内容到此结束,中间部分内容请查看底下的图片预览]请点击下方选择您需要的文档下载。

1. 2019春七年级数学下册第五章相交线与平行线5.1相交线5.1.1相交线导学案（无答案）（新版）新人
2. 人教版二年级数学上册知识点总结
3. 圆的方程复习课
4. 一年级快速跑教案
5. 数学周某某2
6. 企业组织结构现行状况分析
7. 课时跟踪检测（七十七） 参数方程(1)
8. 第三单元重难点和易错知识点
9. 1_平行与垂直教学设计
10. 学年第一学期九年级数学线上提优学案（A班）
11. 12.2 全等三角形的判定3 第4课时 “斜边”“直角边” 教学设计
12. 直线与平面垂直的判定教学反思
13. 《直线与圆的位置关系》教学设计
14. 光的直线传播--课件
15. 《直线的一般式方程》教学设计
16. 2020届高考数学（理）二轮复习专题检测（10）圆锥曲线
17. -学年第一学期七年级数学期末复习卷（2）（含答案）

以上为《2最值系列——辅助圆》的无排版文字预览，完整格式请下载

下载前请仔细阅读上面文字预览以及下方图片预览。图片预览是什么样的，下载的文档就是什么样的。