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最值系列之辅助圆

最值问题的必要条件是至少有一个动点，因为是动态问题，所以才会有最值．在将军饮马问题中，折点P就是那个必须存在的动点．并且它的运动轨迹是一条直线，解题策略就是作端点关于折点所在直线的对称即可．

当然，动点的运动轨迹是可以变的，比如P点轨迹也可以是一个圆，就有了第二类最值问题——辅助圆．

在这类题目中，题目很少直接告诉我们动点轨迹是个圆，也很少把这个圆画出来，因此，结合题目给的条件，分析出动点的轨迹图形，将是我们面临的最大的问题．

若已经确定了动点的轨迹圆，接下来求最最值的问题就会变得简单了，比如：如下图，A为圆外一点，在圆上找一点P使得PA最小．

当然，也存在耿直的题目直接告诉动点轨迹是个圆的，比如：

【2017四川XX】

如图，已知圆C的半径为3，圆外一定点O满足OC=5，点P为圆C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA=OB，∠APB=90°，l不经过点C，则AB的最小值为________．

【分析】连某某OP，根据△APB为直角三角形且O是斜边AB中点，可得OP是AB的一半，若AB最小，则OP最小即可．

连某某OC，与圆C交点即为所求点P，此时OP最小，AB也取到最小值．

一、从圆的定义构造圆

圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合．

构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧．

【2014XX中考】

如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN，连某某A’C，则A’C长度的最小值是__________．

【分析】考虑△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN，可得MA’=MA=1，所以A’轨迹是以M点为圆心，MA为半径的圆弧．

连某某CM，与圆的交点即为所求的A’，此时A’C的值最小．

构造直角△MHC，勾股定理求CM，再减去A’M即可．

【2016XX中考】

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是__________．

【分析】考虑到将△FCE沿EF翻折得到△FPE，可得P点轨迹是以F点为圆心，FC为半径的圆弧．

过F点作FH⊥AB，与圆的交点即为所求P点，此时点P到AB的距离最小．由相似先求FH，再减去FP，即可得到PH．

【2019XX中考】

如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）．直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B’．当PB=6时，在直线l变化过程中，求△ACB’面积的最大值．

【分析】考虑l是经过点P的直线，且△ABC沿直线l折叠，所以B’轨迹是以点P为圆心，PB为半径的圆弧．

考虑△ACB’面积最大，因为AC是定值，只需B’到AC距离最大即可．过P作作PH⊥AC交AC于H点，与圆的交点即为所求B’点，先求HB’，再求面积．

【2018相XX区一模】

如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P、Q分别是直线BC、AB上的两个动点，AE=2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连某某PF、PD，则PF+PD的最小值是_________．

【分析】F点轨迹是以E点为圆心，EA为半径的圆，作点D关于BC对称点D’，连某某PD’，PF+PD化为PF+PD’．

连某某ED’，与圆的交点为所求F点，与BC交点为所求P点，勾 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 线交CD于点E，当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是_______．

【分析】分别考虑C、E两点的轨迹，C点轨迹上是弧MCN，其对应圆心角为∠MON，半径为OM（或ON）．

再考虑E点轨迹，考虑到CE、AE都是角平分线，所以连某某BE，BE平分∠ABC，可得：∠AEB=135°．

考虑到∠AEB是定角，其对边AB是定线段，根据XX对定角，所以E点轨迹是个圆，考虑到∠ADB=90°，所以D点即为圆心，DA为半径．

E点轨迹所对的圆心角为∠MDN，是∠MON的一半，所以C、E两点轨迹圆半径之比为1：根号2，圆心角之比为2:1，所以弧长比值为根号2．

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