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课时跟踪检测（七十七） 参数方程

1.设直线l的参数方程为(t为参数，α为倾斜角)，圆C的参数方程为(θ为参数).

(1)若直线l经过圆C的圆心，求直线l的斜率；

(2)若直线l与圆C交于两个不同的点，求直线l的斜率的取值范围.

解：(1)由已知得直线l经过的定点是P(3,4)，而圆C的圆心是C(1，－1)，

所以，当直线l经过圆C的圆心时，直线l的斜率k＝.

(2)由圆C的参数方程(θ为参数)，得圆C的圆心是C(1，－1)，半径为2. 由直线l的参数方程(t为参数，α为倾斜角)，得直线l的普通方程为y－4＝k(x－3)(斜率存在)，即kx－y＋4－3k＝0.

当直线l与圆C交于两个不同的点时，圆心到直线的距离小于圆的半径，

即＜2，解得k＞.

即直线l的斜率的取值范围为.

2.(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数).

(1)求C和l的直角坐标方程；

(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率.

解：(1)曲线C的直角坐标方程为＋＝1.当cos α≠0时，l的直角坐标方程为y＝tan α·x＋2－tan α；

当cos α＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.

(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cos α＋sin α)t－8＝0.①

因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，

所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.

又由①得t1＋t2＝－，

故2cos α＋sin α＝0，

于是直线l的斜率k＝tan α＝－2.

3.(2019·*_**在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数).以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2acos θ(a＞0).

(1)求曲线C的直角坐标方程，直线l的普通方程；

(2)设直线l与曲线C交于M，N两点，点P(－2,0)，若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求实数a的值.

解：(1)由ρsin2θ＝2acos θ(a＞0)两边同乘以ρ得，

曲线C的直角坐标方程为y2＝2ax(a＞0).由直线l的参数方程为(t为参数)，消去t，

得直线l的普通方程为x－y＋2＝0.

(2)将代入y2＝2ax，得t2－2at＋8a＝0，由Δ＞0得a＞4，

设M，N对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝2a，t1t2＝8a，

∵|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，∴|t1－t2|2＝|t1t2|，∴(2a)2－4×8a＝8a，∴a＝5.

4.(2019·*_**在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数).以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.

(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；

(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.

解：(1)C1的普通方程为＋y2＝1，

C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.

(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos α，sin α).因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，d(α)＝＝.

当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.

5.(2018·**_*在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数).在以 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 ，

则圆C的直角坐标方程为(x－2)2＋(y－2)2＝16，

所以圆C的圆心C(2，2)，半径为4，且经过原点O，数形结合得，若OA⊥OB，则直线l经过圆心C，

即2＋×2＝＋m，解得m＝3，

即直线l的普通方程为x＋y－4＝0.

(2)由P(，1)是直线l上的点，得m＝1，

此时直线l的参数方程为(t为参数)，

代入到圆C的方程(x－2)2＋(y－2)2＝16中，

得t2＋2t－12＝0，

设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，

则t1＋t2＝－2，t1t2＝－12，

所以|AB|＝|t1－t2|＝＝＝2，

又|PC|＝2，|AB|＝λ|PC|，所以λ＝.

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