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　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用

[考试要求]　1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出函数的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.

2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．

1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念

y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x≥0)表示一个简谐运动

振幅

周期

频率

相位

初相

















2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：









































3．由y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的图象



1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．

2．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度．

一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)将y＝3sin 2x的图象左移个单位后所得图象的解析式是y＝3sin. (　　)

(2)把y＝sin x的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，所得图象对应的函数解析式为y＝sin . (　　)

(3)y＝sin的图象是由y＝sin的图象向右平移个单位得到的． (　　)

(4)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为. (　　)

二、教材习题衍生

1．y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　　)

A．2,4π， B．2，， C．2，，－ D．2,4π，－

2．为了得到函数y＝2sin的图象，可以将函数y＝2sin 2x的图象(　　)

A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度

3．为了得到y＝3cos的图象，只需把y＝3cos图象上的所有点的(　　)

A．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变

B．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变

C．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 D．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变

考点一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及图象变换

[典例1]　(1)若函数f (x)＝cos，为了得到函数g(x)＝sin 2x的图象，则只需将f (x)的图象(　　)A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度

(2)已知函数f (x)＝4cos x·sin＋a的最大值为 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。

　解决三角函数图象与性质的综合问题的关键是首先正确的将已知条件转化为三角函数解析式和图象，然后再根据数形结合思想研究函数的性质(单调性、奇偶性、对称性、周期性)，进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界函数等概念．

[典例3]　已知函数f (x)＝2sin ωxcos ωx＋2sin2ωx－(ω＞0)的最小正周期为π.

(1)求函数f (x)的单调递增区间；

(2)将函数f (x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)在[0，b](b＞0)上至少含有10个零点，求b的最小值．



(2019·**_*已知函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)是奇函数，将y＝f (x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若g(x)的最小正周期为2π，且g＝，则f ＝(　　)

A．－2 B．－ C． D．2

考点四　三角函数模型的应用

　三角函数的应用体现两个方面

(1)已知函数模型求解数学问题．

(2)把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．

[典例4](2020·*_**摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．位于XXXX的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为124米，设置有36个座舱．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面145米，匀速转动一周大约需要30分钟．当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．

(1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，已知H关于t的函数关系式满足H(t)＝Asin(ωt＋φ)＋B，求摩天轮转动一周的解析式H(t)；

(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到52米？

(3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h米，求h的最大值．



1.如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P(x，y)．若初始位置为P0，当秒针从P0(注此时t＝0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为(　　)

A．y＝sin B．y＝sin

C．y＝sin D．y＝sin

2．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元，则7月份的出厂价格为 元．

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