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大一上学期高数期末考试

一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)

.

（A）
（B）
（C）
（D）
不可导.

.

（A）
是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B）
是等价无穷小；

（C）
是比
高阶的无穷小； （D）
是比
高阶的无穷小.

若
，其中
在区间上
二阶可导且
，则（ ）.

（A）函数
必在
处取得极大值；

（B）函数
必在
处取得极小值；

（C）函数
在
处没有极值，但点
为曲线
的拐点；

（D）函数
在
处没有极值，点
也不是曲线
的拐点。

（A）
（B）
（C）
（D）
.

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

.

.

.

.

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）

设函数
由方程
确定，求
以及
.

设函数
连续，
，且
，
为常数. 求
并讨论
在
处的连续性.

求微分方程
满足 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。

，

解：

解：

解：由
，知
。

，
在
处连续。

解：

，

四、 解答题（本大题10分）

解：由已知且
，

将此方程关于
求导得

特征方程：
解出特征根：

其通解为

代入初始条件
，得

故所求曲线方程为：

五、解答题（本大题10分）

解：（1）根据题意，先设切点为
，切线方程：

由于切线过原点，解出
，从而切线方程为：

则平面图形面积

（2）三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1，则

曲线
与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2

D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积

六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）

证明：

故有：

证毕。

证：构造辅助函数：
。其满足在
上连续，在
上可导。
，且

由题设，有
，

有
，由积分中值定理，存在
，使
即

综上可知
.在区间
上分别应用罗尔定理，知存在

和
，使
及
，即
.

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