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递推数列通项公式的求法

各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。

数列是近几年高考中的重点，难点，也是热点。所占分值约为12％--16％，并在解答题中必有一道且往往是以压轴题的形式出现，可见其重要性非同一般。从近几年高考数列题中不难发现，大部分试题都与通项公式有关，也进一步说明数列通项公式求法的重要性。当前我认为掌握了数列通项公式应是研究数列其它性质的重要前提，也会使我们解决数列相关问题变得更简单化。

高考大纲中也明确提出：要了解数列通项公式的意义，能根据数列递推公式求出通项公式并能解决简单的实际问题。据发现，很多学生学完了数列这章后总会感到数列很难，尤其是对数列通项公式求法感到很棘手。

一、求递推数列的常用方法和技巧

特殊方法：

1.公式法

2.累差法

3.累乘法

4.迭代法

5.倒数代换法

6.对数代换法

7.待定系数法

8待定函数法

8.特征方程法（含不动点法）

9.解方程组法

10.数学归纳法

11.换元法(含三角代换)

12．分解因式法

通用方法：(大神级方法)

13.母函数法（也叫级数法）（适合实验班数学高手，或者大学生，高中教师学习掌握。这种方法十分强大，比如像著名数列卡特兰数列递推公式都直接被母函数秒杀）

14.病灶分析法（自己发明的思维方法，名字起得不好听，呵呵。这种面向对象的思维方式非常好能激发学生的分析问题的能力！）

15.函数迭代法（详见附录一）（里面有 “算子代数”模型研究结果，难度较大，适合老师学习。这种方法威力极其强大，能算出极其难算的数列通项，适用范围
这种一阶问题）

二、高考数学递推数列的常见类型

类型1.
型的

类型2.递推公式为

类型3.递推公式为

类型4.递推公式为
（其中p，q均为常数，
）。

类型5. 递推公式为

类型6递推公式为

类型7.递推公式为

类型8. 递推公式为
（其中p，q均为常数）。

类型9.递推公式为
型（特别的情形是：
）

类型10.
型

类型11. 双数列型

递推公式为
确定
,
.

类型12. 递推公式为

类型13.其他类型

类型14..循环数列

三、各类型求解方法

类型1.
型的

这种类型一般利用
与
消去

或与

消去
进行求解。

例题1． 已知数列
的前n项某某Sn满足

(Ⅰ)写出数列
的前3项

(Ⅱ)求数列
的通项公式;

分析：
---------------①

由
得
----------------②

由
得，
，得
--------------③

由
得，
，得
---------④

用
代
得
-----------⑤

①—⑤：

即
----------------------------⑥

---------------------------⑦

解法二：

母函数法（这个通法用在这个题目上比较麻烦，这里仅仅是显示下母函数法的解题过程），母函数的优势在本题中体现不出来，但是作为通法，它有巨大价值！

--------------------------------

---------------------------

设
，待定系数，用赋值法建立方程组解得：

解法三：（病灶分析法）仅仅阐述我的一种思维方式，并没有固定格式：

------------------------------- 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 ）。其中
叫做桥函数。

不难证明这是一种等价关系，我们知道等价关系决定一种分类。这种分类实际上是这个关系相对函数空间的商某某。

定理1，共轭（相似）是一种等价关系。

证明只需要验证一下，自反性，对称性，传递性，即可!

定理2，共轭关系具有迭代不变性！

即如果
，那么
，而且具有相同的桥函数。

特别声明：对于
也是成立的。

例2．

解：

取：不难发现：

3.不动点法：

第一步，先求出不动点（
，比如说有两个不动点：）

若：

，分别检验看哪个
好计算一些。

若：
只有唯一一根
时，

，分别比较哪一个
好计算一些。

例3．

解：

很显然，这一形式已经很容易计算

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