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1．等比数列的有关概念

(1)定义：如果一个数列从第2项某某，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q.

(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项?a，G，b成等比数列?G2＝ab.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　



2．等比数列的有关公式

(1)通项公式：an＝a1qn－1.

(2)前n项和公式：Sn＝

3．等比数列与指数型函数的关系

当q>0且q≠1时，an＝·qn可以看成函数y＝cqx，其是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{an}各项所对应的点都在函数y＝cqx的图象上；

对于非常数列的等比数列{an}的前n项和Sn＝＝－qn＋，若设a＝，则Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0，q≠1)．由此可知，数列{Sn}的图象是函数y＝－aqx＋a图象上一系列孤立的点．

对于常数列的等比数列，即q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1.由此可知，数列{Sn}的图象是函数y＝a1x图象上一系列孤立的点．

【素养清单?常用结论】

设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．

(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．

(2)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq；若2s＝p＋r，则apar＝a，其中m，n，p，q，s，r∈N*.

(3)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)．

(4)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和也是等比数列．

(5)若数列{an}的项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q.

【真题体验】

1.【2019年高考全国III卷理数】已知各项均为正数的等比数列/的前4项某某15，且/，则/（ ）

A．16 B．8

C．4 D．2

2.【2019年高考全国I卷理数】记Sn为等比数列{an}的前n项和．若/，则S5=___________．

3.【2018年高考浙江卷】已知/成等比数列，且/．若/，则（ ）

A．/ B．/

C．/ D．/

4.【2017年高考全国II卷理数】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）

A．1盏 B．3盏

C．5盏 D．9盏

5．【2017年高考全国III卷理数】等差数列/的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则/前6项的和为（ ）

A．/ B．/

C．3 D．8

6.【2018年高考全国I卷理数】记/为数列/的前/项和，若/，则/___________．

【考法拓展?题型解码】

考法一　　等比数列基本量的求解

归纳总结：解决等比数列有关问题的常用思想方法

(1)方程的思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求出关键量a1和q，问题便可迎刃而解．

(2)分类讨论的思想：等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，将q分为q 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 数列{an}的通项公式．

【考卷送检】

一、选择题

1．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于(　　)

A．－24 B．0

C．12 D．24

2．(2018·XX卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载X 最早用数学方法计算出半音比例．为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单某某，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为(　　)

A.f B.f

C.f D.f

3．在等比数列{an}中，若a3，a7是方程x2＋4x＋2＝0的两根，则a5的值是(　　)

A．－2 B．－

C．± D.

4．已知等比数列{an}的前n项某某Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，则＝(　　)

A．4n－1 B．4n－1

C．2n－1 D．2n－1

5．(2019·*_**设等比数列{an}的前n项某某Sn，若＝3，则＝(　　)

A．2 B.

C.  D．3

6．(2019·**_*已知各项不为0的等差数列{an}满足a6－a＋a8＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b2·b8·b11＝(　　)

A．1 B．2

C．4 D．8

二、填空题

7．等比数列的各项均为正数，且a1a5＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________.

8．(2017·江苏卷)等比数列{an}的各项均为实数，其前n项某某Sn.已知S3＝，S6＝，则a8＝________.

9．(2019·*_**设数列{an}满足a1＝，且对任意的n∈N*，满足an＋2－an≤2n，an＋4－an≥5×2n，则a2 017＝________.

三、解答题

10．设数列{an}的前n项某某Sn，a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求a1＋a3＋…＋a2n＋1.

11．(2019·**_*数列{bn}满足bn＋1＝2bn＋2，bn＝an＋1－an，且a1＝2，a2＝4.

(1)求数列{bn}的通项公式；

(2)求数列{an}的前n项和Sn.

12．已知在正项数列{an}中，a1＝2，点An(，)在双曲线y2－x2＝1上，数列{bn}中，点(bn，Tn)在直线y＝－x＋1上，其中Tn是数列{bn}的前n项和．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求证：数列{bn}是等比数列．

13．(2019·*_**定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{an}，{f(an)}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f(x)＝x2；②f(x)＝2x；③f(x)＝；④f(x)＝ln |x|.

则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为________．

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