**_*高一期末数学试卷理科
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2015-2016学年**_*高一（下）期末数学试卷（理科）
一、选择题
1．已知集合U={1，2，3，4}，集合A={1，3，4}，B={2，4}，则集合（?UA）∪B=（ ）
A．{2} B．{4} C．{1，3} D．{2，4}
2．x2＞0是x＞0的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也必要条件
3．在等比数列{an}中，a2=6，a3=㧟18，则a1+a2+a3+a4=（ ）
A．26 B．40 C．54 D．80
4．设等差数列{an}的公差为d，前n项某某Sn．若a1=d=1，则的最小值为（ ）
A．10 B． C． D． +2
5．为了得到函数y=sin（2x㧟）的图象，可以将函数y=sin2x的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
6．已知平面向量，满足||==2，（ +2）?（㧟）=㧟6，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
7．己知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x）．当0≤x≤1对，f（x）=x2．若直线y=x+a与函数y=f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是（ ）
A．0 B．0或 C．0或 D．或
8．设△ABC，P0是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任一点P，恒有则（ ）
A．∠ABC=90° B．∠BAC=90° C．AB=AC D．AC=BC
二、填空题
9．已知两点A（1，1），B（㧟1，2），若=，则C点坐标是______．
10．在等差数列{an}中，2（a1+a4+a7）+3（a9+a11）=24，则此数列的前13项之和等于______．
11．设函数，则实数a的取值范围是______．
12．若正数a，b满足a+b=10，则+的最大值为______．
13．在平面直角坐标系xOy中，A（1，0），函数y=ex的图象与y轴的交点为B，P为函数y=ex图象上的任意一点，则的最小值______．
14．已知点A（，），B（，1），C（，0），若这三个点都在函数f（x）=sinωx的图象上，则正数ω的 所有取值的集合为______．
三、解答题.
15．已知{an}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{bn}满足b1=4，b4=20，且{bn㧟an}为等比数列．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）求数列{bn}的前n项和．
16．已知函数f（x）=sinxcosx+cos2x㧟．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调递减区间；
（3）若函数f（x）在区间[0，m]上恰好有10个零点，求正数m的最小值．
17．如图，A、B是单位圆O上的点，C、D分别是圆O与x轴的两个交点，△ABO为正三角形．
（1）若点A的坐标为，求cos∠BOC的值；
（2）若∠AOC=x（0＜x＜），四边形CABD的周长为y，试将y表示成x的函数，并求出y的最大值．
18．已知函数f（x）=（x2+ax+a）e㧟x，其中a∈R．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若存在m，n∈（2，3），且m≠n，使得f（m）=f（n），求实数a的取值范围．
19．设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2㧟x），其中a∈R．
（1）当a=0时，求证：f（x）＜x，对任意的x∈（0，+∞）成某某；
（2）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；
（3）若?x＞0，f（x）≥0成某某，求a的取值范围．
20．设集合S={x|x=，k∈N*}．
（1）请写出S的一个4元素，使得子集中的4个元素恰好构成等差数列；
（2）若无穷递减等比数列{an}中的每一项都在S中，且公比为q，求证：q∈（0，）；
（3）设正整数n＞1，若S的n元子集A满足：对任意的x，y∈A，且x≠y，有|x㧟y|≥，求证：n≤15．
2015-2016学年**_*高一（下）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．已知集合U={1，2，3，4}，集合A={1，3，4}，B={2，4}，则集合（?UA）∪B=（ ）
A．{2} B．{4} C．{1，3} D．{2，4}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】根据补集与并集的定义，进行计算即可．
【解答】解：集合U={1，2，3，4}，
A={1，3，4}，B={2，4}，
∴?UA={2}，
∴（?UA）∪B={2，4}．
故选：D．
2．x2＞0是x＞0的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据x2＞0，得到x的范围和x＞0比较即可．
【解答】解：由x2＞0得到：x≠0，
而x≠0推不出x＞0，不是充分条件，
由x＞0能推出x≠0，是必要条件，
∴x2＞0是x＞0的必要不充分条件，
故选：B．
3．在等比数列{an}中，a2=6，a3=㧟18，则a1+a2+a3+a4=（ ）
A．26 B．40 C．54 D．80
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】根据等比数列{an}中，a2=6，a3=㧟18，求得数列的首项与公比，即可求和．
【解答】解：∵等比数列{an}中，a2=6，a3=㧟18，
∴=㧟3， =㧟2
∴a1+a2+a3+a4=㧟2+6㧟18+54=40
故选B．
4．设等差数列{an}的公差为d，前n项某某Sn．若a1=d=1，则的最小值为（ ）
A．10 B． C． D． +2
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】由已知条件推导出==，由此利用均值定理取最小值．
【解答】解：∵等差数列{an}的公差为d，前n项某某Sn．a1=d=1，
∴=
=1++
=
≥+=，
当且仅当，即n=4时，取最小值．
故选：B．
5．为了得到函数y=sin（2x㧟）的图象，可以将函数y=sin2x的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【考点】五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象．
【分析】先将函数变形，再利用三角函数的图象的平移方法，即可得到结论．
【解答】解：∵函数y=sin（2x㧟）=sin[2（x㧟）]，
∴为了得到函数y=sin（2x㧟）的图象，可以将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度
故选A．
6．已知平面向量，满足||==2，（ +2）?（㧟）=㧟6，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据条件进行向量数量积的运算即可得出，从而可求出的值，进而便可得出向量的夹角．
【解答】解：；
∴=
=
=㧟6；
∴；
∵；
∴．
故选：C．
7．己知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x）．当0≤x≤1对，f（x）=x2．若直线y=x+a与函数y=f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是（ ）
A．0 B．0或 C．0或 D．或
【考点】根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质．
【分析】由题意可得函数的图象，属性结合可得当直线为图中的m，或n是满足题意，求出其对应的a值即可．
【解答】解：由对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x）可知，函数的周期为T=2，
结合函数为偶函数，且当0≤x≤1对，f（x）=x2可作出函数y=f（x）和直线y=x+a的图象，
当直线为图中的直线m，n时，满足题意，易知当直线为m时，过原点，a=0，
当直线为n时，直线与曲线相切，联立，消y可得x2㧟x㧟a=0，
由△=1+4a=0可得a=，故a的值为0，或，
故选C
8．设△ABC，P0是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任一点P，恒有则（ ）
A．∠ABC=90° B．∠BAC=90° C．AB=AC D．AC=BC
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】设||=4，则||=1，过点C作AB的垂线，垂足为H，在AB上任取一点P，设HP0=a，则由数量积的几何意义可得||2㧟（a+1）||+a≥0恒成某某，只需△=（a+1）2㧟4a=（a㧟1）2≤0即可，由此能求出△ABC是等腰三角形，AC=BC．
【解答】解：设||=4，则||=1，过点C作AB的垂线，垂足为H，
在AB上任取一点P，设HP0=a，则由数量积的几何意义可得，
=||?||=||2㧟（a+1）||，
?=㧟a，
于是?≥??恒成某某，
整理得||2㧟（a+1）||+a≥0恒成某某，
只需△=（a+1）2㧟4a=（a㧟1）2≤0即可，于是a=1，
因此我们得到HB=2，即H是AB的中点，故△ABC是等腰三角形，
所以AC=BC．
故选：D．
二、填空题
9．已知两点A（1，1），B（㧟1，2），若=，则C点坐标是 ．
【考点】平面向量的坐标运算．
【分析】利用向量的坐标运算和数乘运算即可得出．
【解答】解：∵ =，
∴
=
=
=．
故答案为：．
10．在等差数列{an}中，2（a1+a4+a7）+3（a9+a11）=24，则此数列的前13项之和等于 26 ．
【考点】数列的函数特性．
【分析】利用等差数列的性质与求和公式即可得出．
【解答】解：等差数列{an}中，2（a1+a4+a7）+3（a9+a11）=24，
∴6a4+6a10=24，
∴2a7=4，即a7=2．
则此数列的前13项之和S13==13a7=26．
故答案为：26．
11．设函数，则实数a的取值范围是 㧟3＜a＜1 ．
【考点】其他不等式的解法；分段函数的解析式求法及其图象的作法；指数函数的单调性与特殊点．
【分析】由于函数为分段函数，可分别讨论当a≥0和a＜0两种情况，进而求出实数a的取值范围．
【解答】解：函数f（x）为分段函数，当a≥0时，＜1，得0≤a＜1．
当a＜0时，＜1，解得a＞㧟3，即㧟3＜a＜0，
故答案为：㧟3＜a＜1．
12．若正数a，b满足a+b=10，则+的最大值为 ．
【考点】函数的最值及其几何意义．
【分析】对无理数可以先求平方，再利用均值定理求出最值，最后得出原表达式的最大值．
【解答】解：正数a，b满足a+b=10，
令y=+，
则y2=a+2+b+3+2，
∵a+b=10，
∴15=a+2+b+3≥2（当a+2=b+3时等号成某某），
∴y2≤30，
∴+的最大值为．
故答案为：．
13．在平面直角坐标系xOy中，A（1，0），函数y=ex的图象与y轴的交点为B，P为函数y=ex图象上的任意一点，则的最小值 1 ．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由题意可得向量的坐标，进而可得=㧟x0+，构造函数g（x）=㧟x+ex，通过求导数可得其极值，进而可得函数的最小值，进而可得答案．
【解答】解：由题意可知A（1，0），B（0，1），
故=（0，1）㧟（1，0）=（㧟1，1），
设P（x0，），所以=（x0，），
故=㧟x0+，
构造函数g（x）=㧟x+ex，则g′（x）=㧟1+ex，
令其等于0可得x=0，且当x＜0时，g′（x）＜0，
当x＞0时，g′（x）＞0，
故函数g（x）在x=0处取到极小值，
故gmin（x）=g（0）=1，
故的最小值为：1
故答案为：1
14．已知点A（，），B（，1），C（，0），若这三个点都在函数f（x）=sinωx的图象上，则正数ω的 所有取值的集合为 {ω|ω=8k+2，k∈N}∩{ω|ω=12k+2，或12k+4，k∈N}∪{2，4}． ．
【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．
【分析】由条件利用正弦函数的图象特征，分类讨论，求得每种情况下正数ω的值，从而得出结论．
【解答】解：若三个点都在函数f（x）=sinωx的图象上，
则有sin（ω?）=，sin（ω?）=1，sinω?=0，
则，
即，
求得正数ω的 所有取值的集合为：{ω|ω=8k+2，k∈N}∩{ω|ω=12k+2，或12k+4，k∈N}∪{2，4}．
故答案为：{ω|ω=8k+2，k∈N}∩{ω|ω=12k+2，或12k+4，k∈N}∪{2，4}．
三、解答题.
15．已知{an}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{bn}满足b1=4，b4=20，且{bn㧟an}为等比数列．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）求数列{bn}的前n项和．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（1）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即可求数列的通项公式；
（2）利用分组求和的方法求解数列的和，由等差数列及等比数列的前n项和公式即可求解数列的和．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，由题意得
d===3．
∴an=a1+（n㧟1）d=3n（n=1，2，…）．
∴数列{an}的通项公式为：an=3n；
设等比数列{bn㧟an}的公比为q，由题意得：
q3===8，解得q=2．
∴bn㧟an=（b1㧟a1）qn㧟1=2n㧟1．
从而bn=3n+2n㧟1（n=1，2，…）．
∴数列{bn}的通项公式为：bn=3n+2n㧟1；
（2）由（1）知bn=3n+2n㧟1（n=1，2，…）．
数列{3n}的前n项某某n（n+1），数列{2n㧟1}的前n项某某=2n㧟1．
∴数列{bn}的前n项某某n（n+1）+2n㧟1．
16．已知函数f（x）=sinxcosx+cos2x㧟．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调递减区间；
（3）若函数f（x）在区间[0，m]上恰好有10个零点，求正数m的最小值．
【考点】正弦函数的单调性；三角函数的周期性及其求法．
【分析】（1）根据二倍角及辅助角公式求得f（x）的解析式，利用周期公式即可求得f（x）的最小正周期；
（2）令2kπ+≤2x+≤2kπ+，函数f（x）单调递减，解得f（x）的单调递减区间；
（3）根据正弦函数图象，f（x）=0，sin（2x+）=0，解得2x+=kπ，（k∈Z），当k=10，为f（x）的第10个零点，求得m的最小值．
【解答】解：（1）f（x）=sinxcosx+cos2x㧟．
=sin2x+cos2x+㧟，
=sin（2x+）
最小正周期T===π，
f（x）的最小正周期π；
（2）令2kπ+≤2x+≤2kπ+，（k∈Z），
解得：kπ+≤x≤kπ+，（k∈Z），
∴函数的单调递减区间为：[kπ+，kπ+]（k∈Z）；
（3）函数f（x）在区间[0，m]上恰好有10个零点，
由正弦函数周期性，可知：f（x）=0，
sin（2x+）=0，
解得：2x+=kπ，（k∈Z），
∴x=㧟，
∴当k=10，x=，
正数m的最小值．
17．如图，A、B是单位圆O上的点，C、D分别是圆O与x轴的两个交点，△ABO为正三角形．
（1）若点A的坐标为，求cos∠BOC的值；
（2）若∠AOC=x（0＜x＜），四边形CABD的周长为y，试将y表示成x的函数，并求出y的最大值．
【考点】在实际问题中建立三角函数模型；三角函数的最值；平面直角坐标系与曲线方程．
【分析】（1）根据△ABO为正三角形求得∠BOA，利用点A的坐标求得sin∠AOC和cos∠AOC，进而利用两角和公式求得cos∠BOC．
（2）利用余弦定理分别求得AC和BD，进而根据△ABO为正三角形求得AB，CD可知，四边相加得到y的函数解析式，利用两角和公式化简整理后，利用x的范围和正弦函数的性质求得函数的最大值．
【解答】解：（1）∵△ABO为正三角形，
∴∠BOA=60°，
∵点A的坐标为，
∴tan∠AOC=，
∴sin∠AOC=，cos∠AOC=，
∴cos∠BOC=cos（∠AOC+60°）=cos∠AOCcos60°㧟sin∠AOCsin60°=．
（2）由余弦定理可知AC==2sin，BD==2sin（㧟），
AB=OB=1，CD=2，
∴
=
=
=，0＜x＜
∴当x=时，ymax=5．
18．已知函数f（x）=（x2+ax+a）e㧟x，其中a∈R．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若存在m，n∈（2，3），且m≠n，使得f（m）=f（n），求实数a的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）结合（1）得到f（x）在（0，2㧟a）递增，在（2㧟a，+∞）递减，满足条件，从而得到关于a的不等式，解出即可．
【解答】解：（1）∵f（x）=（x2+ax+a）e㧟x，
∴f′（x）=㧟，
①a㧟2＞0即a＞2时，2㧟a＜0，
令f′（x）＞0，解得：2㧟a＜x＜0，
令f′（x）＜0，x＞0或x＜2㧟a，
∴f（x）在（㧟∞，2㧟a）递减，在（2㧟a，0）递增，在（0，+∞）递减；
②a㧟2=0即a=2时，f′（x）=㧟＜0，f（x）在R递减；
③a㧟2＜0即a＜2时，2㧟a＞0，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜2㧟a，
令f′（x）＜0，x＞2㧟a或x＜0，
∴f（x）在（㧟∞，0）递减，在（0，2㧟a，）递增，在（2㧟a，+∞）递减；
（2）由（1）得：2＜2㧟a＜3，解得：㧟1＜a＜0．
19．设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2㧟x），其中a∈R．
（1）当a=0时，求证：f（x）＜x，对任意的x∈（0，+∞）成某某；
（2）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；
（3）若?x＞0，f（x）≥0成某某，求a的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．
【分析】（1）求出f（x）的表达式，令g（x）=ln（x+1）㧟x，根据函数的单调性求出g（x）＜g（0）=0，从而证出结论；
（2）求出f（x）的导数，令g（x）=2ax2+ax㧟a+1，通过讨论a的范围，判断函数的单调性，从而求出函数的极值的个数；
（3）通过讨论a的范围，结合函数的单调性求出满足题意的a的范围即可．
【解答】解：（1）a=0时，f（x）=l 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 3）设正整数n＞1，若S的n元子集A满足：对任意的x，y∈A，且x≠y，有|x㧟y|≥，求证：n≤15．
【考点】数列的应用．
【分析】（1）由题设，一个4元素恰好构成等差数列；4个元素通分后具有分母相同，分子成等差关系的特点．
（2）由题设，公比为q，q是有理数，设，（a，b互质），构造无穷递减等比数列证明．
（3）在（0，）∪S中，对任意的x，y∈A，且x≠y，有|x㧟y|≥，满足条件有7个数．在（，1）∪S中，最多有1，，，…，满足条件有8个数，即可得到答案．
【解答】解：（1）S的一个4元素恰好构成等差数列，S={}
（2）由题意，数列{an}是无穷递减等比数列，q是有理数，设，（a，b互质），
∴为S中的数（k∈N*），则b必为1；
∴，（a∈N+），
∴q∈（0，]；
（3）证明：在（0，）∪S中，对任意的x，y∈A，且x≠y，有|x㧟y|≥，
∴在（0，）∪S中的元素个数不超过．最多有7个数．
在（，1）∪S中，满足条件有1，，，…，最多8个数，
∴7+8≤15，即n≤15．得证．
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