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7.2.3　同角三角函数的基本关系式

　　　　　　　　　　　　　　　　同角三角函数的基本关系式

　我们已经知道，如果P(x，y)是α终边上不同于坐标原点的点，记r＝，则sinα＝，cosα＝，tanα＝.

由此可看出

sin2α＋cos2α＝1，

tanα＝.

这两个关系式也可以从三角函数线得到，一般被称为同角三角函数的基本关系式．

1．对于平方关系sin2α＋cos2α＝1可作哪些变形？

答：(1)sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α；

(2)(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα，

(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα；

(3)＝，＝.

2．对于商数关系＝tanα可作哪些变形？

答：sinα＝cosαtanα，cosα＝.

3．结合平方关系和上述关系，可以得到哪些恒等式？

答：cos2α＝，sin2α＝ .

4．对任意的角α，sin22α＋cos22α＝1是否成立？

答：成立．平方关系中强调的同一个角是任意的，与角的表达形式无 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 ＝－

＝－＝－.故选B.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　利用同角三角函数的关系式化简

5．化简.

解：原某某＝＝＝1.

6．已知α是第三象限角，化简·.

解：原某某＝·

＝·

＝·

＝·.

又因为α是第三象限角，所以sinα＜0.

所以原某某＝·＝－1.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　利用同角三角函数的基本关系式证明恒等式

7．求证＝.

证明：

方法一：由cos x≠0，知sin x≠－1，所以1＋sin x≠0，于是

左边＝

＝

＝

＝＝右边，

所以原某某成立．

方法二：因为(1－sinx)(1＋sin x)

＝1－sin2x＝cos2x

＝cos xcos x，

且1－sin x≠0，cos x≠0，

所以＝.

8．求证：＝.

证明：

方法一：左边＝＝，

右边＝＝.

因为sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)，

所以＝，

所以左边＝右边，所以原等式成立．

方法二：

因为右边＝

＝

＝

＝

＝＝左边，所以原等式成立．

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