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　 全等三角形复习

[知识要点]

一、全等三角形

1．判定和性质

一般三角形

直角三角形



判定

边某某（SAS）、角边角（ASA）

角角边（AAS）、边某某（SSS）

具备一般三角形的判定方法

斜边和一条直角边对应相等（HL）



性质

对应边相等，对应角相等

对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等



注：① 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；

② 全等三角形面积相等．

2．证题的思路：

性质

????1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。　　2、全等三角形的对应边上的高对应相等。　　3、全等三角形的对应角平分线相等。　　4、全等三角形的对应中线相等。　　5、全等三角形面积相等。　　6、全等三角形周长相等。　　(以上可以简称:全等三角形的对应元素相等)　　7、三边对应相等的两个三角形全等。（SSS)　　8、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(SAS)　　9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。(ASA)　　10、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。(AAS)　　11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。(HL)

运用

　　1、性质中三角形全等是条件，结论是对应角、对应边相等。 而全等的判定却刚好相反。　　2、利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边，角提供方便。　　3，当图中出现两个以上等边三角形时，应首先考虑用SAS找全等三角形。　　4、用在实际中，一般我们用全等三角形测等距离。以及等角，用于工业和军事。有一定帮助。

5、角平分线的性质及判定

性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等

判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上

做题技巧

　　一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。　　因此我们可以来采取逆思维的方式。　　来想要证全等，则需要什么条件　　另一种则要根据题目中给出的已知条件，求出有关信息。　　然后把所得的等式运用（AAS/ASA/SAS/SSS/HL）证明三角形全等。

（二）实例点拨

例1 （2010XX） 已知：如图，点C是线段AB的中点，CE=CD，∠ACD=∠BCE。求证：AE=BD。

解析：此题可先证三角形全等，由三角形全等得出对应边相等即结论成立。证明如下：

证明：∵点C是线段AB的中点

∴AC=BC

∵∠ACD=∠BCE

∴∠ACD+∠DCE=∠BCE 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 （写出其中的三对即可）.

（2）以
为例证明．

证明：

在Rt
和Rt
中，

Rt
≌Rt
.

要点二、角平分线的性质与应用

例5、（2009·XX中考）如图，OP平分
，
，
，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（ ）

A.
B.
平分
C.
D.
垂直平分

【解析】选D.由OP平分
，
，
，可得
，由HL可得Rt△AOP≌Rt△BOP，

所以可得
平分
，
.

例6、（2009·XX中考）如图，在ΔABC中，∠C=90°,∠ABC的平分线BD交AC于某某D,若BD=10厘米，BC=8厘米，则点D到直线AB的距离是_______厘米。

【解析】过点D作DE垂直于AB于E,由勾股定理得
,由角平分线性质得

答案：6.

【实弹射击】

1、 如图，AB=AC，AE=AD，BD=CE，求证：△AEB ≌ △ ADC。

2、如图：AC与BD相交于O，AC＝BD，AB＝CD，求证：∠C＝∠B

3、如图，已知AB=CD，AD=CB，E、F分别是AB，CD的中点，

且DE=BF，说出下列判断成立的理由

.①△ADE≌△CBF ②∠A=∠C

4、已知：BECF在同一直线上， AB ∥DE，AC∥DF，并且BE=CF。

求证：△ ABC≌ △ DEF

如图, 已知：AB⊥BC于B , EF⊥AC于G , DF⊥BC于D , BC=DF．求证：AC=EF．

如图，ΔABC的两条高AD、BE相交于H，且AD=BD，试说明下列结论成立的理由。

（1）∠DBH=∠DAC；

（2）ΔBDH≌ΔADC。

如图，已知
为等边三角形，
、
、
分别在边
、
、
上，且
也是等边三角形．

除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的；

你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程．

已知等边三角形ＡＢＣ中，ＢＤ＝ＣＥ，ＡＤ与ＢＥ相交于某某Ｐ，求∠ＡＰＥ的大小。

如图所示，P为∠AOB的平分线上一点，PC⊥OA于C，∠OAP+∠OBP=180°，若OC=4cm，求AO+BO的值．

如图：四边形ABCD中，AD∥BC ，AB=AD+BC ，E是CD的中点，求证：AE⊥BE 。

如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，
于E，
，交AG于F．求证：
．



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