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第二章 平行线与相交线

一、两条直线的位置关系

在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴相交；⑵平行（表示符号“//”）。

因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线）。

判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：

①有且只有一个公共点，两直线相交；

②无公共点，则两直线平行；

③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线）。

二、互余、互补、对顶角

1、相加等于90°的两个角称这两个角互余。

性质：同角（或等角）的余角相等。

2、相加等于180°的两个角称这两个角互补。

性质：同角（或等角）的补角相等。

3、两条直线相交，有公共顶点但没有公共边的两个角叫做对顶角；或者一个角的反相延长线与这个角是对顶角。 对顶角的性质：对顶角相等。

三、垂线

1、定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足表示符号“⊥”。符号语言记作：如图所示：AB⊥CD，垂足为O。

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2、性质

性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。

3、垂线的画法：

⑴过直线上一点画已知直线的垂线；

⑵过直线外一点画已知直线的垂线。

注意：

①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；

②过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上。

垂线的画法（以线段外过一点做线段的垂线，垂足不在线段上为例）

用直角三角板画垂线，可简单地说成：“一落”、“二过”、“三画”、“四标”．

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图1 图2 图3 图4

如图1，线段BC，过点A作线段BC的垂线，垂足为点D.

“一落”： 将三角板一条直角边紧贴已知直线上.

我们要过点A作线段BC的垂线，获得垂线段AD，可先用三角板的一条直角边与BC重合在一起，另一条直角边落在点A的同一侧；不盖某某A．(如图2)

“二过”： 使三角板的另一直角边经过已知点．

用铅笔尖点住A点，使三角板保持与BC重合，沿线段BC慢慢移动，到三角板的另一直角边刚好靠近点A(铅笔尖)时停下来。(如图3)

“三画”： 沿已知点所在直角边画直线．

按紧平移后的三角板，用铅笔从A点开始沿这条直角边画直线，很明显这条直线不与线段BC相交，于是我们只需把BC延长(或反向延长)与这条直线相交．(如图4)

“四标”：标出直角标号“┓”

由画出的延长线与作的直线相交而获得了垂足，我们可在交点处标上垂直符号“┓”，并标上字母符号“D“．(如图4)到此，垂线段AD便作出了．

4、点到直线的距离

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

如图，PO⊥AB，同P到直线AB的距离是PO的长。PO是垂线段。PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条。

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注意：距离是线段的长度，是一个量；线段是一种图形，它们之间不能等同。

四、两条线平行的条件

1、同位角、内错角、同旁内角

直线AB，CD与EF相交（或者说两条直线AB，CD被第三条直线EF所截），构成八个角。其中∠1与∠5这两个角分别在AB， 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

7、用尺规作角（利用尺规作图比较角的大小）

尺规作图：在几何里，只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图。

尺规作图是最基本、最常见的作图方法，通常叫基本作图。

即：1、作一条线段等于已知线段。2、作一个角等于已知角

如图所示，求作一个角等于已知角∠AOB．作法：

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（1）作射线O’A’；（2）以O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于点C，交OB于点D；（3）以O’为圆心，以OC为半径作弧，交O′B′于点D′；（4）以点D′为圆心，以CD为半径作弧，交前面的弧于点C′；（5）过C′作射线O′A′．∠A′O′B′就是所求作的角．

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