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第二章 平行线与相交线

一、两条直线的位置关系

在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴相交；⑵平行（表示符号“//”）。

因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线）。

判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：

①有且只有一个公共点，两直线相交；

②无公共点，则两直线平行；

③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线）。

二、互余、互补、对顶角

1、相加等于90°的两个角称这两个角互余。

性质：同角（或等角）的余角相等。

2、相加等于180°的两个角称这两个角互补。

性质：同角（或等角）的补角相等。

3、两条直线相交，有公共顶点但没有公共边的两个角叫做对顶角；或者一个角的反相延长线与这个角是对顶角。 对顶角的性质：对顶角相等。

三、垂线

1、定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足表示符号“⊥”。符号语言记作：如图所示：AB⊥CD，垂足为O。

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2、性质

性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。

3、垂线的画法：

⑴过直线上一点画已知直线的垂线；

⑵过直线外一点画已知直线的垂线。

注意：

①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；

②过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上。

垂线的画法（以线段外过一点做线段的垂线，垂足不在线段上为例）

用直角三角板画垂线，可简单地说成：“一落”、“二过”、“三画”、“四标”．

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图1 图2 图3 图4

如图1，线段BC，过点A作线段BC的垂线，垂足为点D. 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫同旁内角。

2、平行线的判定

注意：几何中，图形之间的“位置关系”一般都与某种“数量关系”有着内在的联系

两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。简称：同位角相等，两直线平行。

两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。简称：内错角相等，两直线平行。

两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行。简称：同旁内角互补，两直线平行。

补充平行线的判定方法：

平行线的定义：如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行

平行于同一条直线的两直线平行。

3、平行线的画法：

利用三角板的平移画平行线，其画法可以总结为：“一落”、“二靠”、“三移”、“四画”.

一落：三角板的一边落在已知直线；

二靠：靠紧三角板的另一边放上另一块三角板；

三移：使第一块三角板沿着第二块三角板移动，使其经过原直线的一边经过已知点；

四画：沿三角板过已知点的一边画出直线.这时所画直线就一定与已知直线平行.

4、平行公理  平行线的存在性与唯一性

经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行(与垂直公理相比较记)

5、平行线的性质：

（1）两直线平行，同位角相等。

（2）两直线平行，内错角相等。

（3）两直线平行，同旁内角互补。

6、平行公理的推论：

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

7、用尺规作角（利用尺规作图比较角的大小）

尺规作图：在几何里，只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图。

尺规作图是最基本、最常见的作图方法，通常叫基本作图。

即：1、作一条线段等于已知线段。2、作一个角等于已知角

如图所示，求作一个角等于已知角∠AOB．作法：

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（1）作射线O’A’；（2）以O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于点C，交OB于点D；（3）以O’为圆心，以OC为半径作弧，交O′B′于点D′；（4）以点D′为圆心，以CD为半径作弧，交前面的弧于点C′；（5）过C′作射线O′A′．∠A′O′B′就是所求作的角．

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