1.3.2 函数的极值与导数 学案-**_*学人教A版高中数学选修2-2(无答案)

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1.3.2 函数的极值与导数

[学习目标] 1.了解函数极值的概念,会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系,并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件.

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课本 26.27页

知识点一 极值点与极值的概念

(1)极小值点与极小值

如图,函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,fXXXXX(a)=0;而且在点x=a附近的左侧 ,右侧 则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.

(2)极大值点与极大值

如(1)中图,函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,fXXXXX(b)=0;而且在点x=b的左侧 右侧 ,则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.

思考 极大值一定大于极小值吗?

知识点二 求函数y=f(x)的极值的方法

解方程fXXXXX(x)=0,当fXXXXX(x0)=0时:

(1)如果在x0附近的左侧fXXXXX(x)>0,右侧fXXXXX(x)<0,那么f(x0)是

(2)如果在x0附近的左侧fXXXXX(x)<0,右侧fXXXXX(x)>0,那么f(x0)是



题型一 求函数的极值

例1 求函数f(x)=x3-4x+4的极值.

跟踪演练1 判断下列函数是否有极值,如果有极值,请求出其极值;若无极值,请说明理由.

(1)y=8x3-12x2+6x+1;

(2)y=x|x|;

(3)y=1-(x-2).

题型二 利用函数极值确定参数的值

例2 已知函数f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=XXXXX1处取得极值,且f(1)=-1.

(1)求常数a,b,c的值;

(2)判断x=XXXXX1是函数的极大值点还是极小值点,试说明理由,并求出极值.

跟踪演练2 已知f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1时有极值0,求常数a,b的值.

题型三 函数极值的综合应用

例3 已知函数f(x)=-x3+ax2+b(a,b∈R).

(1)求函数f(x)的单调递增区间;

(2)若对任意a∈[3,4],函数f(x)在R上都有三个零点,求实数b的取值范围.

跟踪演练3 设函数f(x)=x3-6x+5,x∈R.

(1)求函数f(x)的单调区间和极值;

(2)若关于x的方程f(x)=a有三个不同的实根,求实数a的取值范围.

题型四 等价转化思想的应用

例4 已知函数f(x)=ax3-bx2+(2-b)x+1在x=x1处取得极大值,在x=x2处取得极小值,且0<x1<1<x2<2.

(1)证明:a>0;

(2)求z=a+2b的取值范围.



1.下列关于函数的极值的说法正确的是(  )

A.导数值为0的点一定是函数的极值点

B.函数的极小值一定小于它的极大值

C.函数在定义域内有一个极大值和一个极小值

D.若f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内不是单调函数

2.函数f(x)的定义域为R,导函数fXXXXX(x)的图象如图所示,则函数f(x)(  )

A.无极大值点,有四个极小值点

B.有三个极大值点,两个极小值点

C.有两个极大值点,两个极小值点

D.有四个极大值点,无极小值点

3.已知函数f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴切于点(1,0),则f(x)的极值情况为(  )

A.极大值为,极小值为0 B.极大值为0,极小值为

C.极大值为0,极小值为- D.极大值为-,极小值为0

4.已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则a的取值范围为(   )

A.-1<a<2 B.-3<a<6 C.a<-1或a>2 D.a<-3或a>6

5.设函数f(x)=6x3+3(a+2)x2+2ax.若f(x)的两个极值点为x1,x2,且x1x2=1,则实数a的值为________.

6.已知关于x的函数f(x)=-x3+bx2+cx+bc,若函数f(x)在x=1处取得极值-,则b=________,c=________.

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