二次函数相关知识点
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一 二次函数的概念
1、二次函数
一般地，解析式形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数．
二次函数的定义域为一切实数．而在具体问题中，函数的定义域根据实际意义来确定．
二：特殊二次函数的图像
1、的图像：在平面直角坐标系xOy中，按照下列步骤画二次函数的图像．
列表：取自变量x的一些值，计算相应的函数值y，如下表所示：
x
…
-2
-1
0
1
2
…
…
4
1
0
1
4
…
描点：分别以所取的x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，
如图1所示．
（3）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数的图像，如图2所示．
二次函数的图像是一条曲线，分别向左上方和右上方无限伸展．
它属于一类特殊的曲线，这类曲线称为抛物线．二次函数的图像就称为抛物线．
2、二次函数的图像
抛物线（）的对称轴是y轴，即直线x = 0；顶点是原点．
当时，抛物线开口向上，顶点为最低点；
当时，抛物线开口向下，顶点为最高点．
3、二次函数的图像
一般地，二次函数的图像是抛物线，称为抛物线，
它可以通过将抛物线向上（时）或向下（时）平移个单位得到．
抛物线（其中a、c是常数，且）的对称轴是y轴，即直线x = 0；顶点坐标是（0，c）．
抛物线的开口方向由a所取值的符号决定，
当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点．
4、二次函数的图像
一般地，二次函数的图像是抛物线，称为抛物线，
它可以通过将抛物线向左（时）或向右（时）平移个单位得到．
抛物线（其中a、m是常数，且）的对称轴是过点（-m，0）且平行（或重合）于y轴的直线，
即直线x = -m；顶点坐标是（-m，0）．
当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点．
5、二次函数的图像
二次函数（其中a、m、k是常数，且）的图像即抛物线，
可以通过将抛物线进行两次平移得到．
这两次平移可以是：
先向左（时）或向右（时）平移个单位，再向上（时）或向下（时）平移个单位．
利用图形平移的性质，可知：抛物线（其中a、m、k是常数，且）的对称轴是经过点（，0）且平行于y轴的直线，即直线x =；抛物线的顶点坐标是（，k）．抛物线的开口方向由a所取值的符号决定，当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点．
三：二次函数y = ax 2+ bx + c的图像
1、二次函数的图像
二次函数的图像称为抛物线，这个函数的解析式就是这条抛物线的表达式．
任意一个二次函数（其中a、b、c是常数，且）都可以运用配方法，把它的解析式化为
的形式．
对配方得：．
由此可知：抛物线（）的对称轴是直线，顶点坐标是（，）．
当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点，
抛物线在对称轴（即直线）左侧的部分是下降的，在对称轴右侧的部分是上升的；
当时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，
抛物线在对称轴（即直线）左侧的部分是上升的，在对称轴右侧的部分是下降的．
2、二次函数的图像与x轴的交点的个数
判断二次函数的图像与x轴交点的个数，即为判断一元二次方程的解的 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 函数化成的形式，再根据平移的情况写出平移后
函数的顶点式，再将顶点式整理成一般式．
模块五：二次函数的对称
1、关于x轴对称：
关于x轴对称后，得到的解析式是；
关于x轴对称后，得到的解析式是．
2、关于y轴对称：
关于y轴对称后，得到的解析式是；
关于y轴对称后，得到的解析式是．
3、关于原点对称：
关于原点对称后，得到的解析式是；
关于原点对称后，得到的解析式是．
4、关于顶点对称：
关于顶点对称后，得到的解析式是；
关于顶点对称后，得到的解析式是．
5、关于点（p，q）对称：
关于点（p，q）对称后，得到的解析式是．
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