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专题：极值点偏移问题

一、极值点偏移的含义

函数
满足定义域内任意自变量
都有
，则函数
关于直线
对称；则
必为
的极值点. 如二次函数
的顶点就是极值点
，若
的两根的中点为
，则刚好有
，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.

若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数
的极值点为
，且函数
满足定义域内
左侧的任意自变量
都有
或
，则函数
极值点
左右侧变化快慢不同. 故单峰函数
定义域内任意不同的实数
满足
，则
与极值点
必有确定的大小关系：

若
，则称为极值点左偏；若
，则称为极值点右偏.[KS5UKS5UKS5U]

如函数
的极值点
刚好在方程
的两根中点
的左边，我们称之为极值点左偏.

二、极值点偏移问题的一般题设形式：

1. 若函数
存在两个零点
且
，求证：
（
为函数
的极值点）；

2. 若函数
中存在
且
满足
，求证：
（
为函数
的极值点）；

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变式2：已知函数
，其中

（1）若函数
有两个零点，求
的取值范围；

（2）若函数
有极大值为
，且方程
的两根为
，且
，证明：
.

例:2. 已知函数
，
为常数，若函数
有两个零点
，证明：

变式1：已知函数
．

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）若方程

有两个相异实根
，
，且
，证明：
.

例3：设函数
，其图像在点
处切线的斜率为
.

当
时，令
，设
是方程
的两个根，
是
的等差中项，求证：
(
为函数
的导函数）.

变式1：已知函数
.

（Ⅰ）讨论
的单调性； （Ⅱ）设
，证明：当
时，
；

（Ⅲ）设
是
的两个零点，证明
.

变式2：已知函数
（
）.

（Ⅰ）若
，求函数
的单调递增区间；

（Ⅱ）若函数
，对于曲线
上的两个不同的点
，
，记直线
的斜率为
，若
，证明：
.

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