第二周数学作业答案
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第二十一章 一元二次方某某
21.1 一元二次方某某(1)
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等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方某某叫做一元二次方某某，一元二次方某某的一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0).任何一个一元二次方某某都可以化简为一般形式并确定其二次项系数a、一次项系数b和常数项c．
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1.ax2＋bx＋c＝0是关于x的一元二次方某某的条件是(C)．
A.a，b，c为任意实数 B.a，b不同时为零
C.a不为零 D.b，c不同时为零
2.把方某某x(x+2)=5(x-2)化成一般形式，则a，b，c的值分别是(A).
A.1，-3，10 B.1，7，-10 C.1，-5，12 D.1，3，2
3.下列一元二次方某某中，常数项为0的是(D)．
A.x2+x=1 B.2x2-x-12=0 C.2(x2-1)=3(x-1) D.2(x2+1)=x+2
4.将方某某3x(x-1)=5(x+2)化为一元二次方某某的一般形式，正确的是(B).
A.4x2-4x+5=0 B.3x2-8x-10=0 C.4x2+4x-5=0 D.3x2+8x+10=0
5.已知(m-2)x2-3x+1=0是关于x的一元二次方某某，则m的取值范围是 m≠2 ．
6.已知两个数的差为3，它们的平方和是65，设较小的数为x，则可列出方某某 x2+（x+3）2=65 ，化成一般形式为 x2＋3x－28＝0 ．
7.方某某3x2=5x+2化为一般形式ax2+bx+c=0后，b2-4ac的值为 49 ．
8.判断下列几个方某某是否是一元二次方某某，把其中的一元二次方某某化为一般形式，并指出二次项系数a、一次项系数b及常数项c．
(1)x2＋x－1＝x2； (2) x2＋＋2＝0； (3) ＝x－1；
(4)3(x－1)2＝2＋x2； (5)(2m－1)2x2＋3x－5＝0(m为常数)．
【答案】（1）（2）（3）不是一元二次方某某；（4）是一元二次方某某,一般形式为2x2－6x+1=0,a=2,b=-6,c=1；
（5）当m≠时,是一元二次方某某,a=（2m－1）2,b=3,c=-5；当m=时,不是一元二次方某某.
9.根据下列问题，列出关于x的方某某，并将其化为一元二次方某某的一般形式.
(1)如果一个直角三角形的两条直角边长之和为14cm，面积为24cm2，求它的两条直角边的长.
(2)有一个三位数，它的个位数字比十位数字大3，十位数字比百位数字小2，三个数字的平方和的9倍比这个三位数小20，求这个三位数.
【答案】(1)设其中一条直角边的长为x(cm)，则另一条直角边长为（14-x）cm.根据题意得x（14-x）=24，整理得x2-14x+48=0.
(2)设十位数字为x，则个位数字为x+3，百位数字为x+2.根据题意得［100（x+2）+10x+（x+3）］-9［（x+3）2+x2+（x+2）2］=20，整理得9x2-7x-22=0.
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10.方某某(m+2)x2+-8=0是关于x的一元二次方某某，则(B).
A.m=±2 B.m=2 C.m=-2 D.m≠±2
11.下列方某某中，一元二次方某某有(D)．
①3x2+x=20；②2x2-3xy+4=0；③x2-=4；④x2=0；⑤x2-+3=0.
A.①② B.①②④⑤ C.①③④ D.①④⑤
12.某市2017年国内生产总值比2016年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计2016年比2015年增长7%，若这两年国内生产总值年平均增长率为x%，则x%满足的关系式为(D)．
A.12%＋7%＝x% B.1＋12%1＋7%＝21＋x%
C.12%＋7%＝2·x% D.1＋12%1＋7%＝1＋x%2
13.关于x的方某某(k－1)(k＋3)x2＋(k－1)x－k＋3＝0，当k ≠－3且k≠1 时，它是一元二次方某某；当k =－3 时，它是一元一次方某某．
14下列式子中， ①②④⑤ (填序号)是方某某x2－x＝2所化的一元二次方某某的一般形式．
①x2－x－2＝0；②－x2＋x＋2＝0；③x2－2x＝-4；④－x2＋2x＋4＝0；⑤x2－2x－4＝0．
15.设a，b，c分别是一元二次方某某的二次项系数、一次项系数和常数项，根据下列条件，写出该一元二次方某某．
(1)a∶b∶c＝3∶4∶5，且a＋b＋c＝36．
(2)(a－2)2＋|b－4|＋＝0．
【答案】(1)9x2＋12x＋15＝0.
(2)2x2＋4x＋6＝0.
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16.【湘西】一元二次方某某-2(x-1)2=x+3化成一般形式ax2+bx+c=0后，若a=2，则b+c＝ 2 ．
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17.已知关于x的一元二次方某某ax2+2xa－4xb－5＝0，试写出满足要求的所有a，b的值．
【答案】,或,或,,或,或.
21.1 一元二次方某某(2)
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使方某某两边相等的未知数的值叫做一元二次方某某的解，也叫做一元二次方某某的根.已知方某某的根可以确定方某某的系数或系数之间的关系．
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1.已知关于x的一元二次方某某x2+x+c=0有一个解为x=1，则c的值为(A).
A.-2 B.0 C.1 D.2
2.若n(n≠0)是关于x的方某某x2+mx+3n=0的一个根，则m+n的值是(A).
A.-3 B.-1 C.1 D.3
3.关于x的一元二次方某某(m-1)x2+x+m2-1=0的一个根是0，则m的值为(C).
A.1 B.1或-1 C.-1 D.0.5
4.若方某某x2＋(k－1)x－6＝0的一个根是2，则另一个根是(B)．
A.3 B.-3 C.-2 D.1
5.已知关于x的一元二次方某某2x2-3kx+4=0的一个根是1，则k= 2 ．
6.已知一元二次方某某ax2+bx+c=0，若有一个根为-1，则a-b+c= 0 ；若a+b+c=0，则有一根为 1 ．
7.若关于x的一元二次方某某ax2+bx+5=0(a≠0)的一个解是x=1，则a+b+2016的值是 2011 ．
8.已知m是方某某x2-x-3=0的一个实数根，则代数式(m2-m)(m-+1)的值为 6 ．
9.填表并回答问题：
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【答案】表略
(1)根据上表可知方某某x2－5x＋6＝0的根是 x1＝2,x2＝3 ．
(2)根据上表指出方某某x2－4x＋2＝0的根x的值介于 0与1 、 3与4 之间．
10.已知a=-+1．
(1)求a，c的值．
(2)若一元二次方某某ax2+bx+c=0有一个根是1，求b的值．
【答案】(1)由题意得c-2=0,则c=2,∴a=1.
(2)由(1)知,a=1,c=2,则一元二次方某某ax2+bx+c=0为x2+bx+2=0.把x=1代入,得12+b+2=0,解得b=-3.
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11.已知一元二次方某某x2-x-2=0的一个根是m，则2018-m2+m的值是(B).
A.2015 B.2016 C.2018 D.2020
12.已知关于x的方某某x2+ax+1=0和x2-x-a=0有一个公共根，则a的值是(C).
A.0 B.1 C.2 D.3
13.满足(n2-n-1)n+2=1的整数n有(A).
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
14.已知m是一元二次方某某x2-9x+1=0的解，则m2-7m+= 17 ．
15.已知α，β是一元二次方某某x2－2x－3＝0的两个根，则(α2－2α＋2)(β2－2β－1)＝ 10 ．
16.已知a是方某某x2-2020x+1=0的一个根.求：
(1)2a2-4040a-3的值．
(2)代数式a2-2019a+的值.
【答案】(1)把x=a代入方某某,可得a2-2020a+1=0，∴a2-2020a=-1.∴2a2-4040a-3=2(a2-2020a)-3=-2-3=-5.
(2)由(1)得a2-2020a=-1，∴a2-2019a=a-1.∴a2+1=2020a.∴a2-2019a+=a-1+==2019.
17.观察下列方某某，并回答问题：
①x2-1=0；②x2+x-2=0；③x2+2x-3=0；④x2+3x-4=0；…
(1)请你根据这列方某某的特点写出第n个方某某．
(2)直接写出第2016个方某某的根．
(3)说出这列方某某的根的一个共同特点．
【答案】(1)第n个方某某是x2+(n-1)x-n=0.
(2)第2016个方某某的根是x1=1,x2=-2016.
(3)这列方某某的根的一个共同特点是都有一个根是1.
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18.【菏泽】已知关于x的一元二次方某某x2+ax+b=0有一个非零根-b，则a-b的值为(A).
A.1 B.-1 C.0 D.-2
19.【巴中】已知x=1是一元二次方某某x2+ax+b=0的一个根，则a2+2ab+b2的值为 1 .
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20.阅读理解：若p，q，m为整数，且三次方某某x3＋px2＋qx＋m＝0有整数解c，
将c代入方某某，得c3＋pc2＋qc＋m＝0，移项，得m＝－c3－pc2－qc，即有m＝c×(－c2－pc－q)．
由于－c2－pc－q与c及m都是整数，所以c是m的因数．
上述过程说明：整数系数方某某x3＋px3＋qx＋m＝0的整数解只可能是m的因数．
例如：方某某x3＋4x2＋3x－2＝0中－2的因数为±1和±2，将它们分别代入方某某x3＋4x2＋3x－2＝0进行验证，得x＝－2是该方某某的整数解，－1，1，2不是该方某某的整数解．
解决问题：
(1)根据上面的学习，请你确定方某某x3＋x2＋5x＋7＝0的整数解只可能是哪几个整数．
(2)方某某x3－2x2－4x＋3＝0是否有整数解？若有，请求出其整数解；若没有，请说明理由．
【答案】(1)1,－1,7,－7.
(2)该方某某有整数解.方某某的整数解只可能是3的因数,即1,－1,3,－3,将它们分别代入方某某x3－2x2－4x＋3＝0进行验证,得x＝3是该方某某的整数解.
21.2 解一元二次方某某
21.2.1 配方法(1)
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形如x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方某某可以用直接开平方法解，即x=±或mx＋n=±.对于二次项系数为1的一元二次方某某，只要把常数项配出一次项系数一半的平方就可以得到完全平方式，将方某某转化为(x＋n)2＝p的形式，若p≥0就可以用直接开平方法解．
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1.方某某3x2－54＝0的根是(C)．
A.x＝3 B.x＝3
C.x1＝3，x2＝－3 D.x1＝2，x2＝－2
2.如果x=-3是一元二次方某某ax2=c的一个根，那么该方某某的另一个根是(A).
A.ｘ＝3 B.ｘ＝-3 C.ｘ＝0 D.ｘ＝1
3.已知一元二次方某某mx2+n=0(m≠0)，若方某某有解，则必须满足的条件是(D).
A.n=0 B.m，n同号 C.n是m的整数倍 D.m，n异号或n=0
4.已知(x2＋y2＋1)2＝4，则x2＋y2的值为(A)．
A.1 B.－3 C.1或-3 D.1或3
5.用配方法解一元二次方某某x2+4x-5=0，此方某某可变形为(B).
A.(x-2)2=9 B.(x+2)2=9 C.(x+2)2=1 D.(x-2)2=1
6.方某某(x-2)2=2的根是 x1=2,x2=0 ．
7.将一元二次方某某x2+6x+2=0化成(x+p)2=q形式，则p= 3 ，q= 7 ．
8.在实数范围内定义运算“☆”，其规则为：a☆b=a2-b2，则方某某(4☆3)☆x=13的解为x= ±6 ．
9.解下列方某某：
(1)9x2=25． (2)2x2-98=0． (3)3(x-1)2=2.7．
【答案】x1=,x2=-. 【答案】x1=7,x2=-7. 【答案】x1=1+,x2=1-.
(4)(x＋)(x－)＝20. (5)(2x＋1)2－2(2x＋1)＋1＝4． (6)x2－6x＋9＝(5－2x)2．
【答案】x1＝5,x2＝－5. 【答案】x1＝1,x2＝－1. 【答案】x1＝2,x2＝.
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10.关于x的方某某(x+1)2-m=0(其中m≥0)的解为(D).
A.x=-1+m B.x=-1+ C.x=-1±m D.x=-1±
11.若a为方某某(x-)2=100的一个根，b为方某某(y-4)2=17的一个根，且a，b都是正数，则a-b的值是(B)．
A.5 B.6 C. D.10-
12.关于x的方某某m(x+h)2+k=0(m，h，k均为常数，m≠0)的解是x1=-3，x2=2，则方某某m(x+h-3)2+k=0的解是(B).
A.x1=-6，x2=-1 B.x1=0，x2=5 C.x1=-3，x2=5 D.x1=-6，x2=2
13.若一元二次方某某ax2=b(ab＞0)的两根分别是m+1与2m-4，则这两根为 ±2 .
14.已知关于x的方某某x2+2(m+2)x+9m=0，方某某的左边是一个完全平方式，则m= 1或4 ．
15.已知一元二次方某某ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根为1，且a，b满足等式b=++3，求方某某y2+c=0的根．
【答案】∵a,b满足等式b=++3,且a-1≥0,1-a≥0,∴a=1.把a=1代入b=++3,得b=3.∵一元二次方某某ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根是1,∴将a=1,b=3,x=1代入,得c=-4.∴关于y的方某某y2=4的解为y=±4.
16.已知a2+b2-4a-2b+5=0，求的值．
【答案】由a2+b2-4a-2b+5=0,分别对a,b配方,得(a2－4a＋4)＋(b2－2b＋1)＝0,(a－2)2＋(b－1)2＝0.由完全平方式的性质,得a－2＝0,b－1＝0.∴a＝2,b＝1.∴===3+2.
17.有n个方某某：x2+2x-8=0；x2+2×2x-8×22=0；…；x2+2nx-8n2=0．
小静解第一个方某某x2+2x-8=0的步骤为：“①x2+2x=8；②x2+2x+1=8+1；③(x+1)2=9；④x+1=±3；⑤x=1±3；⑥x1=4，x2=-2.”
(1)小静的解法是从步骤 ⑤ 开始出现错误的．
(2)用配方法解第n个方某某x2+2nx-8n2=0.(用含有n的式子表示方某某的根)
【答案】(1)⑤
(2)x2+2nx-8n2=0,x2+2nx=8n2,x2+2nx+n2=8n2+n2,(x+n)2=9n2,x+n=±3n,x1=2n,x2=-4n.
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18.【枣庄】x1，x2是一元二次方某某3(x-1)2=15的两个解，且x1＜x2.下列说法中，正确的是(A).
A.x1小于-1，x2大于3 B.x1小于-2，x2大于3
C.x1，x2在-1和3之间 D.x1，x2都小于3
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19.已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2＋b2＋c2－ab－bc－ca＝0，试判定△ABC的形状并说明理由．
【答案】△ABC是等边三角形.理由如下：在已知等式两边乘2,得2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ca=0.拆项、配方,得(a2－2ab＋b2)＋(b2－2bc＋c2)＋(c2－2ca＋a2)＝0,(a－b)2＋(b－c)2+(c－a)2＝0.由完全平方式的性质,得a－b=0,b－c=0,c－a=0.∴a=b=c.故△ABC是等边三角形.
21.2.1 配方法(2)
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配方法解一元二次方某某的一般步骤为：(1)方某某的两边都除以二次项系数，将二次项系数化为1；(2)将常数项移到方某某右边，两边同时加上一次项系数一半的平方，配成(x+n)2=p的形式；(3)用直接开平方法求方某某的解．
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1.当x取任意实数时，代数式x2－2x＋2的值一定(A)．
A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.不能确定正负
2.用配方法解下列方某某时，配方有错误的是(B)．
A.x2－2x－99＝0化为(x－1)2＝100 B.x2＋8x＋9＝0化为(x＋4)2＝25
C.2t2－7t－4＝0化为(t－)2＝ D.3y2－4y－2＝0化为(y－)2＝
3.已知方某某x2－6x＋q＝0可以配方成(x－p)2＝7的形式，则x2－6x＋q＝2可以配方成(B)．
A.(x－p)2＝5 B.(x－p)2＝9
C.(x－p＋2)2＝9 D.(x－p＋2)2＝5
4.用配方法解方某某4x2-3x=4时，先把方某某的二次项系数化为1，再在方某某的两边同时加上(D)．
A. B. C. D.
5.把方某某x2+6x+3=0变形为(x+h)2=k的形式后，h= 3 ，k= 6 ．
6.用配方法解下列方某某：①x2-2x=5；②2x2-4x=5；③x2+4x=5；④x2+2x=5，其中应在左、右两边同时加上1的是 ①④ ．
7.若关于x的二次三项式x2－ax＋2a－3是一个完全平方式，则方某某x2+4=a的解是 x=± ．
8.用配方法解一元二次方某某：
(1)x2－2x＝5. 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 方某某,得(x－1)2＝2n＋1.∴x＝1±.∵方某某的两个实数根都是整数,且n＜5，∴0＜2n＋1＜11,且2n＋1是完全平方形式.∴2n＋1＝1,2n＋1＝4或2n＋1＝9.解得n＝0,n＝或n＝4.
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16.选取二次三项式ax2＋bx＋c(a≠0)中的两项，配成完全平方式的过程叫配方.例如：
①选取二次项和一次项配方：x2－4x＋2＝(x－2)2－2．
②选取二次项和常数项配方：x2－4x＋2＝(x－)2＋(2－4)x或x2－4x＋2＝(x＋)2－(4＋2)x．
③选取一次项和常数项配方：x2－4x＋2＝(x－)2－x2．
根据上述材料，解答下列问题：
(1)写出x2－8x＋4的两种不同形式的配方．
(2)已知x2＋y2＋xy－3y＋3＝0，求xy的值．
【答案】(1)x2－8x＋4＝x2－8x＋16－16＋4＝(x－4)2－12.x2－8x＋4＝(x－2)2＋4x－8x＝(x－2)2－4x.(答案不唯一) (2)x2＋y2＋xy－3y＋3＝0，配方得(x＋)2＋ (y－2)2＝0.∴x＋＝0,y－2＝0.解得x＝－1,y＝2.则xy＝(－1)2＝1.
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