全国中等职业学校优秀数学教学案例征集 数学与生活
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全国中等职业学校优秀数学教学案例征集
数学与生活
*_**专学校 李某某
第一部分：案例
数学与生活
一、数学在生活中的常见应用内容：
计数、购物、储蓄、信贷（房贷、车某某）、保险、经营与销售、成本核算、房屋建筑与装修、天气预报、彩票胜率、股票风险控制、旅游行程规划、丈量（房屋使用面积与建筑面积、土地丈量等）、税收、社会调查、会计、航天、计算机程序设计、工程预算、机床加工、项目评估与论证、产品设计与检验等等。
二、数学与生活沟通的桥梁：建立问题的数学模型
数学模型：从广义上讲,一切数学概念,数学理论体系,各种数学公式,各种方程式,各种函数关系,以及由公式系列构成的算法系统等等都可以叫做数学模型.狭义上讲,只有那些反映特定问题或特定的具体事物系统的数学关系的结构,才叫做数学模型.在现代应用数学中,数学模型都作狭义解释.而建立数学模型的目的,主要是为了解决具体的实际问题.
如：成本利润、收入需求、价格等经济量是经济问题中必需考虑的因素。为了达到利润最大、成本最小、价格最合理，就要把握最佳产量，最佳销售量，而这常某某求函数的最大、最小值问题，线性规划、非线性规划问题等经济学中最常见的最优化问题，其实质就是求能够使目标函数达到极值的选择变量的值。
三、几点建议：
中等职业技术教育数学教材应兼顾素质教育与经济应用。在经济应用数学中，高中数学时的函数思想得到了加强和拓展。它在延续高中朴素的函数思想的同时，着重的讲述了经济中常用的几种函数。如构造“成本函数”、“收益函数”、“需求函数”和“供应函数”等“线性函数”。在这里，又把中学的“二次函数”和“分式函数”扩展为“多项式函数”和“有理函数”，并用它们构造了总成本函数、平均成本函数、收益函数、利润函数、库存总数函数等。而指数函数，对数函数在金融计算中的利率及翻番等问题中经常某某。
总之，中学数学中的函数思想在现实生活和现代经济社会中得到了进一步的发展和利用，并且与经济中的各种常用函数联系，集中体现了函数思想在经济规划中的作用。随着科学不断的发展，数学理论也在不断的发展完善之中，并且深远地影响着社会经济的发展。从上面也可以看出，为了适用经济高速发展的需要，高中数学中应加强函数内容的教学，增加概率统计、线性规划、数学模型等内容。
四、数学应用案例：
例1 (日常生活)测量与计算：要求同学们计算家庭实际居住使用面积、建筑面积。
让同学们运用学过的简单的几何图形面积计算及图形的有关分解与组合知识尝试计算我们家庭居住房屋的实际使用面积及建筑面积，从而使学生运用所学知识解决生活中的一些实际问题。(如：房屋装修、房屋买卖、房屋抵押等)。在这样一个实际测算的过程中，同学们既提高了兴趣，又培养了实际测量、计算的能力，让学生在生活中学、在生活中用。
例2 （个人交纳所得税） ??? ①咨询同学们有关银行储蓄利息税的收取及《中华人民共和国个人所得税法》的有关规定； ? ②每位学生调查自己的家庭成员（如父母等）月收入情况，如需纳税的，算出应纳税金额； ③每位学生自编一些关于交纳个人所得税方面的应用题。
④学生计算一万元的三年期存款到期本息。
例3 2000年全国高考数学（文史类）
《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额。此项税款按下表分段累计计算：
全月应纳税所得额
税率
不超过500元的部分
5%
超过500元至2000元的部分
10%
超过2000元至5000元的部分
15%
某人一月份应纳此项税款26.78，则他的当月工资、薪金所得介于
A、800~900 B、900~1200元 C、1200~1500 D、1500~1800元
解析：∵500×5%=25＜26.78， ∴工资高于800+500=1300，
而25+100×10%=35＞26.78。 ∴工资一定低于800+600=1400，
因此答案应选C。
例4 （单利模型）在金融业务中有一种利息叫做单利。设p是本金，r是计息期的利率，c是计息期满应付的利息，n是计息期数，I是n个计息期（即借期或存期）应付的单利，A是本利和。求本利和A与计息期数n的函数模型。
解：计息期的利率=计息期满的利息/本金，即r=c/p.由此得c=pr,单利与计息期数成正比，即n个计息期应付的单利I为：I=cn 。 因为c=pr所以I=prn,本利和为A=p+I,即A=p+prn, 因此本利和A与计息期数n的函数关系，即单利模型为：A=p(1+rn).
例5 （复利模型）在金融业务中还有一种利息叫做复利（又称利滚利）。
如：2005年5月24日，小李把100元人民币按照整存整取的方式存入银行，半年期利率是1.98%，利息的税率为20%.
（1）如果按照半年期存入，半年后连本带息转存，那么一年后连本带息有多少元？
（2）如果按照3个月期存入，每过3个月连本带息转存，那么一年后连本带息有多少元？
（3）上述两种方案，一年后哪个利息较多？
解：（1）如果按照半年期存入，则半年后连本带息共有
100+100×2.16%××（1－20%）
=100×（1+）元
一年后连本带息共有
100×（1+）+100×（1+）×2.16%×80%
= 100×（1+）（1+）
=100×（1+）
≈101.74（元）
（2）如果按照3个月期存入，每过3个月连本带息转存，则3个月后连本带息共有
100+100×1.98%××（1－20%）
=100×（1+）元
6个月后连本带息共有
100×（1+）
9个月后连本带息共有
100×（1+）
一年后连本带息共有
100×（1+）≈101.59元。
（3）按半年期存入，一年后得到的税后利息为1.74元。按3个月期存入，一年后得到的税后利息为1.59元。因此按半年期存入，利息较多。
例6 （购房贷款）
如：建设银行受托办理某单位职工集资建房购房贷款,贷款期限为10年,年利率为5.22%(月利率为0.435%).贷款的偿还采用等额均还方式.即,从贷款的第一个月起,每个月都归还银行同样数目的钱,10 年还清贷款的本金与利息.如果借款P万元,那么每个月应偿还多少钱?
解析： 设每个月应偿还X万元.
首先计算10 年后应偿还的本金与利息之和(简称为本息).
第一个月的本息为
P+P×0.435%=P×(1+0.435%)=1.00435P.
第二个月的本息为
1.00435P+1.00435P×0.435%=1.004352P.
依次下去,从第一个月起,每个月的本息组成的数列为
1.00435P, 1.004352P, 1.004353P, … (1)
这是一个等比数列,首项a1=1.00435p,公比q=1.00435.
10 年后应偿还的本息也就是第120个月后的本息.即上述等比数列的第120
项:
a120=1.00435P×1.***-1=1.***P. (2)
借款人从贷款后的第一个月末开始,每个月末都偿还X万元,直至第120个月末.这些偿还的钱连同其利息加起来正好还清贷款的本息 a120.
第120 个月末偿还的X万元的本息为X万元.
第119个月末偿还X万元的本息为
X+X×0.435%=X× (1+0.435%)=1.00435X.
第118个月末偿还的X万元的本息为
00435X+1.00435X×0.435%=1.004352X.
依次下去,第1个月末偿还的X万元的本息为
***X,
因此,从第1个月末至第120个月末每月偿还X万元的本息总和为数列：
X, 1.00435X, 1.004352X, …, 1.***X (3)
的前120项的和S120.这个数列(3)也是等比数列,其首项为X,公比为1.00435.因此
S120=. (4)
S120应等于借的P万元的本息a120,由此得出
=1.***P.
解得
X=P . (5)
(5)式就是计算每个月应偿还银行的钱的公式.
例7 (房贷实例)
在例6中,如果客户向建设银行借款10万元,贷款期10年.用公式(5)计算每个月应偿还银行多少钱?
解：应用例6中公式(5)得
10×≈0.107144.
因此，如果向建设银行借10万元,贷款期10年,则每月应偿还银行1071.44元.
例8 （通讯问题）
“使用139全球通手机，月租费50元，每分钟通话费0.4元；使用136神州行手机，没有月租费，每分钟通话费0.6元。某人使用136手机，每月费用在150元以上，若他要换用全球通手机合算吗？”
解析：首先通过150元的最低费用计算出某人使用136手机最少通话次数，再测算其使用139手机时的最低费用，两者对比即可得出结论。
这些题目，是学生从未接触过的，又很贴近学生的现实生活。通过让学生计算，既让学生对所学知识有所巩固，又对现实生活加强了了解，很好地激发了学生学习的兴趣。
例9 （报刊订阅）
某居民区共有500户居民订阅a, b两种报纸,其中订阅a种报纸的有340户,订阅b种报纸的有280户.(1)求a, b两种报纸都订阅的有多少户.(2)只订a种报纸而未订b种报纸的有多少户.
解析：这是一个求各类人群人数的问题，归结为数学问题求某个集合中的元素该数问题。首先应找到相应集合，而后根据已知集合中元素的个数求出所要集合中元素的个数。
解：设A=, B=,则
A∩B=
而 n(A∩B)= nA+ nB- n(A∪B)
=340+280-500=120（人）
又 A∩=
∵ n (A∩)=nA-n(A∩B)
=340-120=220（人）
因此，（1）a, b两种报纸都订阅的有120户.(2)只订a种报纸而未订b种报纸的有220户
例10 （古代数学故事）（摘自BASIC语言程序设计习题五）
相传古代印度有个宰相叫达依尔，是国际象棋的发明者，非常聪明能干。国王舍罕准备奖励他，问他想要些什么。达依尔说：“国王只在国际象棋的棋盘上的第一个格子里放一粒麦子，第二个格子里放2粒麦子，第三个格子里放4粒麦子，以后每个格子增加一倍，一直放完第64个格子，我就感恩不尽了。”国王想：“64格还不容易！”于是令人扛来一袋麦子，结果很快就用完了。国王又令人扛来几十袋麦子，结果按达依尔的要求还差得很远。那么到底要多少麦子？假定每吨麦子大约有100 000 000粒，这些麦子共有多少吨？每列火车能运2000吨，共需多少列火车？若每一分钟开出一列车，需要几个世纪才能运完？
解析：从数学角度上讲，这个问题主要是计算棋格中放的麦粒总数。
而每一格中放置的麦粒数构成如下数列：
20、21、22、23、……. 264
那么，剩余的问题则变成了数学中求等比数列前n项和的问题了。
例11 （古代数学故事）
泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙某某为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白理.大石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。
传说陵寝中有一个三角形图案，以相同
大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见右
图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图
案一共花了多少宝石吗？
解析：这是一个等差数列的数学模型。
例12 （古代数学故事）
高斯小时候在德国的一所农村小学读书,数学老师是位从城里来的先生。他瞧不起
穷人的孩子，从不认真教他们，甚至还打骂学生。有一天，他情绪很坏，一上课就命令学生做加法，从1一直加到100，谁算不到就不准回家。所有的孩子都急急忙忙地算起来，不一会儿，小高斯就算出了结果是5050。老师大吃一惊，奇怪他怎么算得这么快。你知道高斯是怎么算的么？
解析：这也是一个等差数列的数学模型。
例13 （生产经营）
已知生产某产品固定成本12万元，而可变成本与产量的平方成正比。且知当产量为10个单位时，可变成本为4万元，求产量为50个单位时总成本是多少？
分析：本例涉及成本的问题。成本=固定成本+可变成本，关键在于找到可变成本即可。
解：设总成本为C，产量为Q,则有
C=12+ KQ2（K为比例系数）,
依题意有 K×102=4 ,求得K=.
所以，总成本函数为：
C=12+Q2
当产量为50个单位时，总成本为112万元。
例14 （经营与销售）
已知一商品的需求函数为Q=24-P/3（P为商品价格，需求一般为价格的函数），求销售该商品10个单位时的总收入是多少？
解：由已知需求函数为Q=24-P/3解得，P=72-3Q，于是总收入函数为：
R=（72-3）=72-3 Q2
当Q=10时代入上式得， R=720-300=420
因此，销售该产品10个单位时，总收入为420个单位。
例15 （经营技巧与最大经营利润）
将进货单单价为8元的商品按10元一个销售时,每天卖出100个,若这种商品流通的销售价每个上涨1元,则日销售量就减少10个.为了争取最大利润,此商品的售价应定为多少元?
解析:利润与价格有关，亦受市场的需求限制。因此，在经营中要想获得最大利润，市场上的产品定价是有很大讲究的。
设销售利润为S，则依题意有：
产品在10元基础上每上涨x元,日销售量为100-10X，单个产品利润为2+X，
因此，此时每日销售利润为
S=(2+X)×（100-10X）
=-10X2+80X+200
=-10(X-4)(X-4)+360,
∴X=4时,S有最大值,每个商品的定价应定为14元，且日最大利润为360元。
例16 （利润与保本量或盈亏平衡点）
某厂生产一种产品，固定产品为6万元，单位产品的可变成本为25元，若该产品定价为每单位35元，求总利润函数。
解：由题意知总成本函数为C=60000+25Q，总收益函数为R=35Q，则可得总利润函数为：L=35Q-（60000+25Q）=10Q-60000
在研究总利润函数时，若总利润为零，即
L(Q)=R(Q)-C(Q)，可得R(Q)= C(Q),
即总收益函数等于总成本函数，称为保本模型。
满足保本模型的产量称为保本量。
例如，上例中的保本模型为：35=60000+25Q
因此，该厂产品的保本量为Q=6000，即产量6000个为工厂的盈亏平衡点。
例18 （装修设计）
某火车站的XX上装有一电子报时钟，在钟面的边界上，每一分钟的刻度处都装有一只小彩灯，晚上九点三十五分二十秒时，时针与分针所夹的角α内装有多少只小彩灯? 解：由题意可知，钟面上共装有60只小彩灯，时钟两只彩灯间所夹的角是6度。每走一分钟，分针转过的角度是6度，时针转过的角度是0?5度，晚上九点三十分，时针与分针所夹的角度为105度，此角内部有17只彩灯，再过五分二十秒，分钟转动的越过的彩灯有5只，时钟转动尚未越过一只彩灯，于是角α内共有17－5=12只小彩灯.
例17 （图案设计）
某平面网络图的一个局部设计中，根据实际需要，要使任何三条都不交于一点的10条直线，直线恰有31个交点，请你设计出符合这一要求的直线分布图. 分析：平面上的10条直线，若两两相交，且无三条交于一点，则可出现C=45个交点，若其中有两条直线平行，则减少一个交点；有三条直线平行，则再减少2个交点，即共减少3个交点，有4条直线平行，则再减少3个交点，即共减少6个交点；有5条直线平行，则再减少4个交点，即共减少10个交点……又因为45－31=14，而1＋3＋10=14，所以可得如下设计方案：一组5条平行线，一组3条平行线，一组2条平行线。?
例18 （体育比赛）
甲乙两运动员进行乒乓球单打比赛,根据以往比赛胜负的情况知道,每一局甲胜的概率为0.6, 乙胜的概率为0.4.如果比赛时可采用“三局二胜”制或“五局三胜”制度,求在哪种制度下,甲获胜的概率较大.
解析：这是一个伯努利数学概率模型。
甲在“三局二胜”制中获胜的概率为：
P（B2）+ P（B3）=C0.620.4+ C0.63=0.432+0.216=0.648
甲在“五局三胜”制中获胜的概率为：
P（B3）+ P（B4）+ P（B5）= C0.630.42+ C0.640.4+ C0.65
=0.3456+0.2592+0.07776=0.68256
比较得知：甲在“五局三胜”制中获胜的概率较大。
例19 （面积最大）
在学习“圆的面积”的时候，可以设置疑问。“为什么自来水的管道是圆形的而不是长方形的”、“你们有没有见过正方形的自来水管”，这样一个带有生活常识的问题。一提出，学生马上对它充满兴趣，交头接耳，议论纷纷，这样使教材的内容融入趣味的生活情节中，让学生带着兴趣去学习新知识，使学生尝试成功的喜悦，诱发学生再次学习的兴趣。
解析：流量与管道的截面的面积有关。
用长度为L的铁丝围成的正方形面积为：
用长度为L的铁丝围成的圆形面积为：
显然，用同样的材料，圆形管道的流量较大。 例20 （生态与环保问题）
有一则报道：中国现在每年生产大约450亿双一次性筷子，需要砍伐2500万棵树，而一棵小树苗长成参天大树又需要十来年的时间。按照这样的速度计算，中国可能在20年内就要砍掉所有森林。 邋邋解析：这类问题有利于学生理论联系实际，有利于学生拓宽眼界，加强社会责任感。
第二部分：教学实案
（2个课时）
教学课题：数学与生活（一）
教学目标：使学生广泛、深入地了解数学在日常生活、社会实践以及各种经济活动中的应用，正确理解和掌握经济生活中相关知识、术语、相互关系及有关数学模型的建立，了解解决问题的数学方法，明确数学就存在于生活当中。
教学重点：了解数学在生活中的一些常见应用，突出解决经济生活中的一些常见问题，掌握应用数学解决实际问题的建模思路与基本方法，激发学生学习数学的积极性。
教学措施： （一）提前布置同学们广泛考察、征集数学在日常生活、社会活动、经济以及科技等各个领域中的应用。
（二）在学生信息搜集的基础上，动员学生进行广泛的信息交流与切磋
（三）教师做好引导、总结与启发。
（四）特别关注问题的解决过程与知识向实践的反馈。
教学过程：
（一）咨询与调研：
征集同学们根据自身实践和对生活、社会的观察，以及通过各种新闻媒体所获悉的数学在生活中的各种应用。
通过广泛沟通与交流，概括和总结出数学在生活各个方面的一些应用：
数学在生活中的一些常见应用内容：
计数、购物、储蓄、信贷（房贷、车某某）、保险、经营与销售、成本核算、房屋建筑与装修、天气预报、彩票胜率、股票风险控制、旅游行程规划、丈量（房屋使用面积与建筑面积、土地丈量等）、税收、社会调查、会计、航天、计算机程序设计 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 学习已不仅是升学与研究者的需要，数学品质已成之为每一位公民的最基本的品质之一。社会的数字化程度日益提高，要求人们具有更高的数学素养。数学作为人类文化的重要组成部分，已成为现代社会人们的一种基本素质。
2. 要想应用好数学，首先应学好数学基本知识，其次应注意观察生活、了解生活，不断地尝试运用数学知识去建立一些实际问题数学模型。
3、掌握一些常见问题的数学模型及相关概念。
六、应用与检验：
(一) 每位学生自编一个关于交纳个人所得税方面的应用题。
(二) 学生计算一下一万元的三年期存款到期本息为多少？
(三) 根据自身及家庭实际状况的收入预期和需求预期，试制定一个车、房信贷计划书。
(四) 解决下面生活中的二个实际问题
1.（通讯问题）：
“使用139全球通手机，月租费50元，每分钟通话费0.4元；使用136神州行手机，没有月租费，每分钟通话费0.6元。假定某人使用136手机，每月费用在150元以上，若他要换用全球通手机，请核算一下合算吗？”
2.（经营与销售）
已知一商品的需求函数为Q=24-P/3（P为商品价格，需求一般为价格的函数），求销售该商品10个单位时的总收入是多少？
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