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处理解三角形范围问题的8大视角

视角1.对边对角模型

对边对角模型是解三角形中最经典的题型，在三角形中，倘若知道任意一边与该边所对角的大小，我们就可分别利用正弦定理+三角函数或者余弦定理+均值不等式的方法找到相关范围.

例1.（2020年全国2卷）在
中，

（1）求
；

（2）若
，求
周长的最大值.

解析：（1）由正弦定理可得：
，

，
.

（2）
，

即
.

（当且仅当
时取等号），

，

解得：
（当且仅当
时取等号），

周长
，
周长的最大值为
.

备注：关于此题第二问，标准的对边对角模型，还可以得到下列的相关问题

若
,求
面积的最大值.

若
为锐角三角形，求
的取值范围.

若
为锐角三角形，求
的取值范围.

相关解答比较简单，此处不再赘述.

视角2.正弦定理边角转化

在正弦定理中：

此时，我们并非一定需要对边对角，实际上，只要知道任意一边和一角，即可结合内角和定理得到一组边角定量关系，下面我通过例题予以分析.

例2.（2019全国3卷）
的内角
对边为
，
.

（1）.求角
的值；

（2）.若
为锐角三角形，且
，求
面积的取值范围．

解析：(1)根据题意
，由正弦定理得
，因为
，故
，消去
得
．

，
因为故
或者
，而根据题意
，故
不成立，所以
，又因为
，代入得
，所以
.

(2)因为
是锐角三角形，由（1）知
，
得到
，

故
，解得
.

又应用正弦定理
，
，由三角形面积公式有：

.

又因
,故
，

故
.故
的取值范围是

视角3.齐次边型分式结构

在这一部分中，我们经常会看到诸如：
等结构，这种类型当然还可利用正弦定理转化为纯角结构，所以，我们只需要做的就是消元，把三个角消成一个角，或用均值不等式，或用一元函数处理.

例3.（2022新高考1卷）记
的内角
，
，
的对边分别为
，
，
，已知
．

（1）若
，求
；

（2）求
的最小值．

解析：（1）由已知条件得：

所以
，即
，

由已知条件：
，则
，可得
，所以
，
．

2）由（1）知
，则
，
，

，由正弦定理

当且仅当
时等号成立，所以
的最小值为
．

例4．在锐角
中，
，则
的范围是（???）

A．
B．
C．
D．

在锐角
中，
，因为
，
，
,

所以
，
，解得
，

所以
，
，而
，

所以
，

所以由正弦定理可知：

，

因为
，所以
，所以
，即
.

故选：A.

视角4. 余弦定理求角的最值

余弦定理的最大特色就是齐次分式结构，同时，
在
上的严格单调性保证了我们可以利用余弦函数的最值来找到角的最值.

若
，倘若再能找到
这样一个约束条件，代入余弦定理消掉
，即可得到一个均值结构，利用均值不等式即可求得最值，下面通过例题予以分析.

例5.已知
中，角
的对边分别为
.若
，则
的最大值为（?????）

A．
B．
C．
D．

解：∵
，∴
，

∴由正弦定理得：
，

即
，
，则
，

（当且仅当
，即
时取等号），
的最小值为
.

∵
，∴
，∴
的最大值为
.

例6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若
，则角A的最大值为（???）

A．
B．
C．
D．

解析：因为
，所以
，进而可得

因为
，当且仅当
时等号成立，所以
又因为
，所以角A的最大值为

视角5. 秦九韶公式

秦九韶公式求范围是近年来解三角形模考试题中热门考察方向之一，相关某某 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。
，且满足
，则
的取值范围是（???????）

A．
B．
C．
D．

解析：由
，知
，

，
，
，

因为
、
，则
，
，

因为正弦函数
在
上单调递增，所以，
，则
，

因为
为锐角三角形，则
，可得
，则
，

，故选：A.

例13．在锐角
中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若
，则
的取值范围为（???????）

A．
B．
C．
D．

解析：∵
，∴
，

∴
，∴
，

∴
，∴

，∴
，∴
或
（不符合题意舍去），

∴
，∴

，设
，∵
是锐角三角形，∴
，∴
，∴
，∴
，令
，则
，∴函数
在
上单调递增，故
，∴
.故选：C．

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