3.3.2函数的极值与导数课前预习某某

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3. 3.2函数的极值与导数

课前预习某某

一、预习目标

了解并掌握函数极值的定义以及导数与函数极值的关系,会利用导数求函数的极值

二、预习内容

已知函数 f(x)=

(1)求f(x)的单调区间,并画出其图象;

(2)函数f(x)在x=-1和x=1处的函数值与这两点附近的函数值有什么关系?导数为多少?

三、提出疑惑

同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中

疑惑点

疑惑内容





















课内探究学案

一、学习目标

1.了解并掌握函数极值的定义以及导数与函数极值的关系

2.会利用导数求函数的极值

学习重难点:导数与函数极值的关系。

二、学习过程

(一)知识回顾:

1、已知函数 f(x)=

(1)求f(x)的单调区间,并画出其图象;

(2)函数f(x)在x=-1和x=1处的函数值与这两点附近的函数值有什么关系?导数为多少?

2、观察图像,哪些是极大值? 哪些是极大值点? 哪些是极小值? 哪些是极小值点?



概念:什么是极大值? 什么是极大值点?什么是极小值? 什么是极小值点?什么是极值

极大值:

极大值点:

极小值:

极小值点:

极值:

思考与总结:1.极值是最大值或最小值吗?

2.函数的极值是不是唯一的?

3.极大值一定比极小值大吗?举例说明.

4.点是极值点是在该 点的导数为0的什么条件?举例说明

5.判别f(x0)是极大、极小值的方法是怎样的?

6、函数的极值点能否出现在区间的内部,区间的端点能否成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点能在区间的内部,也可能在区间的端点吗.

(二)探究一、例1.(课本例4)求的极值

探究二、例2求y=(x2-1)3+1的极值

探究三、例3 设,在和处有极值,且=-1,求,,的值,并求出相应的值。

(三)反思总结

请同学们归纳利用导数求函数极值的步骤:

(四)当堂检测

已知函数,

(1)求函数的的极值并画出函数的大致图像,

(2)求函数在区间[-3,4]上的最大值和最小值。

求f(x)=x3-3 x2-9 x +5在[-4,4]上的最大值和最小值.

课后练习与提高

1、下列说法正确的是( )

A.函数在闭区间上的极大值一定比极小值大

B.函数在闭区间上的最大值一定是极大值

C.对于f(x)=x3+px2+2x+1,若|p|<,则f(x)无极值

D.函数f(x)在区间(a,b)上一定存在最值

2、函数y=1 +3x-x3有( )

A.极小值-1,极大值1

B.极小值-2,极大值3

C.极小值-2,极大值2

D 极小值-1,极大值3

3求函数y=x3-27x的极值

说一说,这节课你学到了什么?

XXXXX3.3.2函数的极值与导数

一、教学目标

知识与技能:理解极大值、极小值的概念; 能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值; 掌握求可导函数的极值的步骤;

过程与方法:多让学生举命题的例子,培养他们的辨析能力;以及培养他们的分析问题和解决问题的能力;

情感、态度与价值观:通过学生的参与,激发学生学习数学的兴趣。 

二、教学重点难点

教学重点:极大、极小值的概念和判别方法,以及求可导函数的极值的步骤.

教学难点:对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.

三、教学过程:

函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的.通过研究函数的这些性质,我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解.我们以导数为工具,对研究函数的增减及极值和最值带来很大方便.

四、学情分析

我们的学生属于平行分班,学生已有的知识和实验水平有差距。需要教师指导并借助动画给予直观的认识。

五、教学方法

发现式、启发式

新授课教学基本环节:预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习

六、课前准备

1.学生的学习准备:

2.教师的教学准备:多媒体课件制作,课前预习某某,课内探究学案,课后延伸拓展学案。

七、课时安排:1课时

八、教学过程

(一)预习检查、总结疑惑

检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑,使教学具有了针对性。

提问

(二)情景导入、展示目标。

设计意图:步步导入,吸引学生的注意力,明确学习目标。

1、有关概念

(1).极大值: 一般地,设函数f(x)在点x0附近有定义,如果对x0附近的所有的点,都有f(x)<f(x0),就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值,记作y极大值=f(x0),x0是极大值点

(2).极小值:一般地,设函数f(x)在x0附近有定义,如果对x0附近的所有的点,都有f(x)>f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值,记作y极小值=f(x0),x0是极小值点

(3).极大值与极小值统称为极值

在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值请注意以下几点:

(ⅰ)极值是一个局部概念由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是大或小;并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。

(ⅱ)函数的极值不是唯一的,即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个

(ⅲ)极大值与极小值之间

无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值,如上图所示,是极大值点,是极小值点,而> 

(ⅳ)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点

2. 判别f(x0)是极大、极小值的方法:

若满足,且在的两侧的导数异号,则是的极值点,是极值,并且如果在两侧满足“左正右负”,则是的极大值点,是极大值;如果在两侧满足“左负右正”,则是的极小值点,是极小值

3. 求可导函数f(x)的极值的步骤:

(1)确定函数的定义区间,求导数fXXXXX(x) 

(2)求方程fXXXXX(x)=0的驻点(一阶导数为0的x的值)

(3)检查 fXXXXX(x)=0的驻点左右的符号;如果左正右负,那么f(x)在这个驻点处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个驻点处取得极小值;如果左右不改变符号,那么f(x)在这个驻点处无极值

(三)合作探究、精讲点拨。

例1.(课本例4)求的极值

解: 因为,所以。

令,得

下面分两种情况讨论:

(1)当>0,即,或时;(2)当<0,即时.

当x变化时, ,的变化情况如下表:





—2

(-2,2)

2







+

0

-

0

+





!?/p>

极大值

!?/p>

极小值

!?/p>



因此,=;

=。

函数的图像如图所示。

例2求y=(x2-1)3+1的极值

解:yXXXXX=6x(x2-1)2=6x(x+1)2(x-1)2, 令yXXXXX=0解得x1=-1,x2=0,x3=1

当x变化时,yXXXXX,y的变化情况如下表





-1

(-1,0)

0

(0,1)

1







-

0

-

0

+

0

+





!?/p>

无极值

!?/p>

极小值0

!?/p>

无极值

!?/p>



∴当x=0时,y有极小值且y极小值=0

例3 设,在和处有极值,且=-1,求,,的值,并求出相应的值。

解:,∵是函数的极值点,则-1,1是方程的根,即有?,又,则有,由上述三个方程可知,,,此时,函数的表达式为,∴,令,得,当变化时,,的变化情况表:





-1

(-1,1)

1







+

0

-

0

+





!?/p>

极大值1

!?/p>

极小值

-1

!?/p>



由上表可知, ,

(学生上黑板解答)

多媒体展示探究思考题。

在学生分组实验的过程中教师巡回观察指导。 (课堂实录)

(四)反思总结,当堂检测。

教师组织学生反思总结本节课的主要内容,并进行当堂检测。

设计意图:引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正。(课堂实录)

(五)发导学案、布置预习。

设计意图:布置下节课的预习作业,并对本节课巩固提高。教师课后及时批阅本节的延伸拓展训练。

九、板书设计

极大值:

极大值点:

极小值:

极小值点:

极值:

十、教学反思

本课的设计采用了课前下发预习某某,学生预习本节内容,找出自己迷惑的地方。课堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等,最后进行当堂检测,课后进行延伸拓展,以达到提高课堂效率的目的。

在后面的教学过程中会继续研究本节课,争取设计的更科学,更有利于学生的学习,也希望大家提出宝贵意见,共同完善,共同进步!

十一、学案设计(见下页)

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