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《微积分》课程教学大纲

学 时 数：118

学 分 数：7

适用专业：经济类本科

执 笔：吴某某

编写日期：2009年6月

课程的性质、目的和任务

本课程是高等学校经济类本科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量建设人才服务的。

通过本课程的学习，要使学生获得一元函数微积分学、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程与差分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为后续课程的学习奠定必要的数学基础。

在课程的教学过程中，要通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、数学运算能力、综合解题能力、数学建模与实践能力以及自学能力。

课程教学的主要内容与基本要求

一、函数、极限与连续

主要内容：?

函数的概念及其表示法，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，函数关系的建立；反函数、复合函数和隐函数，基本初等函数的性质及其图形特征，初等函数，简单应用问题的函数关系的建立；常用经济函数；数列极限与函数极限的定义和性质，函数的左、右极限，无穷小与无穷大；无穷小的比较；极限的四则运算；极限存在的两个准则和两个重要极限；?连续函数的概念，函数间断点的分类；初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质(最大值最小值定理和介值定理)。

基本要求：

1、理解函数的概念，掌握函数的表示法；

2、了解函数的有界性、单调性、周期性与奇偶性；

3、掌握函数关系的建立；

4、理解复合函数、反函数、隐函数和分段函数的概念；

5、掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念及应用；

6、会建立简单应用问题的函数关系，熟悉几种常用经济函数；

7、了解数列极限和函数极限（包括左、右极限）的概念；

8、了解无穷小的概念和基本性质，掌握无穷小的阶的比较方法。了解无穷大的概念及其与无穷小的关系；

9、了解极限的性质与极限存在的两个准则，熟练掌握极限的四则运算法则，熟练掌握两个重要极限的应用；

10、理解函数连续性的概念（包括左、右连续）与函数间断的概念，掌握间断点的分类；

11、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性定理、最大值与最小值定理和介值定理）及其简单应用。

二、导数与微分

主要内容：?

??? ?导数的概念，导数的几何意义和经济意义，函数的可导性与连续性之间的关系；平面曲线的切线和法线；基本初等函数的导数，导数的四则运算，反函数的导数，复合函数的求导法则；导数的应用；高阶导数的概念，某些简单函数的n阶导数；隐函数及参数方程所确定的函数的导数；微分的概念，微分的四则运算，一阶微分形式的不变性，函数的线性化，利用微分进行近似计算，误差计算；一阶微分形式的不变性微分在近似计算中的应用。

基本要求：

1、理解导数的概念，了解导数的几何意义与经济意义，理解函数的可导性与连续性之间的关系；

2、熟练掌握基本初等函数的导数公式；

3、熟练掌握导数的四则运算法则；

4、熟练掌握反函数求导法则；

5、熟练掌握复合函数求导法则；

6、掌握隐函数求导法则与对数求导法则；

7、掌握作为变化率的导数在几何、物理尤其是在经济学中的应用；

8、了解高阶导数的概念，会求二阶、三阶导数及一些简单的n阶导数；

9、了解微分的概念，可导与可微，导数与微分的关系，以及一阶微分形式的不变性，熟练掌握求微分的方法。

三、中值定理与导数的应用

主要内容：?

罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯某某中值定理；洛必达法则；泰勒中值定理；函数的单调性及其判别法，曲线的凹凸性及其判别法，函数图形的拐点及其求法，函数的极值及其求法；函数最大值和最小值的求法及其在抛射体运动和经济中的应用；渐近线，函数图形的描绘。

基本要求：

1、理解并会 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 的幂级数展开式的应用。

基本要求：

1、了解级数的收敛、发散以及收敛级数的和等概念；

2、掌握几何级数，p－级数的收敛与发散的条件，知道调和级数的敛散性；

3、掌握收敛级数的必要条件及收敛级数的基本性质；

4、熟练掌握正项级数的比较判别法、达朗贝尔（比值）判别法与柯某某（根值）判别法；

5、掌握交错级数的莱布尼茨判别法；

6、了解任意项级数的绝对收敛与条件收敛的概念，掌握绝对收敛与条件收敛的判别法；

7、了解幂级数及其收敛半径、收敛区域、和函数等概念，会求收敛半径和收敛域；

8、了解幂级数在收敛区间内的基本性质（和函数的连续性，逐项微分和逐项积分），会求一些简单幂级数的和函数；

9、掌握
及
的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单的函数间接展开成幂级数；

八、微分方程与差分方程

主要内容：?

常微分方程的概念，微分方程的解、通解、初始条件和特解；变量可分离的方程，齐次方程；一阶线性方程；*可降阶的高阶微分方程；二阶线性微分方程解的结构；二阶常系数齐次线性微分方程及其通解，自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与乘积的二阶常系数非齐次线性微分方程的解法；差分方程；微分方程的简单应用。

基本要求：

1、了解微分方程的阶、通解、初始条件和特解等概念；

2、掌握变量可分离的方程，齐次方程和一阶线性方程的求解方法；

3、掌握二阶常系数齐次线性方程和自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与乘积的二阶常系数非齐次线性微分的解法；

4、了解差分与差分方程及其通解与特解等概念；

5、掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法；

6、会应用微分方程和差分方程求解一些简单的经济应用问题。

各教学环节的学时分配

章 节

主要内容

各教学环节学时分配

备注







讲

授

实

验

讨

论

习

题

课

外

其

它

小

计





一

函数与极限

20









2

22





二

导数与微分

10





2





12





三

导数的应用

14





2





18





四

不定积分

8











8





五

定积分及其应用

14





2





16





六

多元函数微积分

16





2





22





七

无穷级数

8





2





10





八

微分方程与差分方程

14





2





18





合 计

104





12



2

118







课程与其它课程的联系

高等数学是理工科各专业重要的必修基础课，通过这门课程的学习，将为理工科各专业的学习打下坚实的基础。这门课程的学习也将为今后各专业课程的学习建立必要的知识储备，开阔学生的眼界、丰富知识的结构、培养学生的分析问题与解决问题的能力。没有高等数学课程的学习，将无法进行其它后续课程的学习。

教材与教学参考资料

选用教材：

吴某某，大学数学立体化教材：微积分（经济类），中国人民大学出版社，2009年3月。

教学参考资料：

吴某某，大学数学多媒体教学系统：微积分（经济类），中国人民大学出版社，中国人民大学音像出版社，2006年6月。

朱某某，高等学校经济管理学科数学基础：微积分，高等教育出版社，2002年7月。

赵某某，经济应用数学基础：微积分，中国人民大学出版社，2002年7月。

章某某，许某某，高等数学实验，高等教育出版社，2004年7月。

A.D.Andrew, G.L.Cain等（俞正光，章纪民译），用Mathematica做微积分实验，清华大学出版社，2003年9月。

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