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2.3.2双曲线的简单几何性质（第一课时）教学设计

一、教学目标

（一）知识与技能

1、了解双曲线的范围、对称性、顶点、离心率。

2、理解双曲线的渐近线。

（二）过程与方法

通过联想椭圆几何性质的推导方法，用类比方法以双曲线标准方程为工具推导双曲线的几何性质，从而培养学生的观察能力、联想类比能力。

（三）情感态度与价值观

让学生充分体验探索、发现数学知识的过程，深刻认识“数”与“形”的关系，培养学生勇于攀登科学高峰的精神。

二、教学重点难点

双曲线的渐近线。

三、教学过程

(一)课题引入

1、前面我们学习了椭圆及其标准方程，并由标准方程推导出椭圆的几何性质，椭圆的几何性质有哪些？（教师用课件引导学生复习椭圆的几何性质，双曲线及其标准方程。）

今天我们从图形和方程两个角度，研究双曲线的几何性质。

【板书】：双曲线
的性质

2、双曲线有哪些性质呢？（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线。）

3、双曲线的这些性质具体是什么？如何推导？请同学们对比椭圆的几何性质的推导方法，推导出双曲线的几何性质。（讨论）

（二）焦点在x轴上的双曲线的性质

1、范围：

把双曲线方程
变形为
。

因为
，因此
，即
，所以
。 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 就无限趋于零。（同时也从方程的角度做简单推导）

【板书】：4、渐近线：直线
叫做双曲线
的渐近线；直线
叫做双曲线
的渐近线。渐近线斜率越大，双曲线开口越大（几何画板演示）。

5、离心率

【板书】：5、定义双曲线的焦距与实轴长的比
，叫做双曲线的离心率。

双曲线的形状与离心率有什么关系？

由等式
，可知：

【板书】：双曲线的离心率
且
越大双曲线的开口就越开阔。

（三）类比得到焦点在y轴上的双曲线的几何性质

标准方程







图形







性质

焦点









范围


，







对称性

关于
轴，
轴，原点都对称





顶点









离心率







渐近线









（四）例题

求双曲线
的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。

解：把方程
化为标准方程

由此可知，半实轴长
，半虚轴长
；

焦点坐标是
；离心率
；渐近线方程为
。

归纳总结：首先把方程化为标准方程，看准焦点在哪条轴上，得到a,b,c的值，再由双曲线的几何性质求解。

例2 与椭圆
有公共焦点，且离心率
的双曲线的标准方程。

作业

教材第61页：习题2.3，第2、3两题。

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