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4 反函数·基础练习

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(一)选择题

1．函数y＝－x2(x≤0)的反函数是[ ]

2．函数y＝－x(2＋x)(x≥0)的反函数的定义域是[ ]

A．[0，＋∞) 　　　　　　　　　　　　　B．[－∞，1]

C．(0，1] 　　　　　　　　　　　　　D．(－∞，0]

[ ]

A．y＝2－(x－1)2(x≥2)

B．y＝2＋(x－1)2(x≥2)

C．y＝2－(x－1)2(x≥1)

D．y＝2＋(x－1)2(x≥1)

4．下列各组函数中互为反函数的是[ ]

5．如果y＝f(x)的反函数是y＝f-1(x)，则下列命题中一定正确的是[ ]

A．若y＝f(x)在[1，2]上是增函数，则y＝f-1(x)在[1，2]上也是增函数

B．若y＝f(x)是奇函数，则y＝f-1(x)也是奇函数

C．若y＝f(x)是偶函数，则y＝f-1(x)也是偶函数

D．若f(x)的图像与y轴有交点，则f-1(x)的图像与y轴也有交点

6．如果两个函数的图像关于直线y＝x对称，而其中一个函数是

[ ]

A．y＝x2＋1(x≤0)

B．y＝x2＋1(x≥1)

C．y＝x2－1(x≤0)

D．y＝x2－1(x≥1)

7．设点(a，b)在函数y＝f(x)的图像上，那么y＝f-1(x)的图像上一定有点[ ]

A．(a，f-1(a)) 　　　　　　　　　　　　　B．(f-1(b)，b)

C．(f-1(a)，a) 　　　　　　　　　　　　　D．(b，f-1(b))

8．设函数y＝f(x)的反函数是y＝g(x)，则函数y＝f(－x)的反函数是[ ]

A．y＝g(－x) 　　　　　　　　　　　　　　B．y＝－g(x)

C．y＝－g(－x) 　　　　　　　　　　　　D．y＝－g-1(x)

9．若f(x－1)＝x2－2x＋3(x≤1)，则函数f-1(x)的草图是[ ]

[ ]

A．g(2)＞g(－1)＞g(－3)

B．g(2)＞g(－3)＞g(－1)

C．g(－1)＞g(－3)＞g(2)

D．g(－3)＞g(－1)＞g(2)

(二)填空题

解f(x)＝________．

3．如果一次函数y＝ax＋3与y＝4x－b的图像关于直线y＝x对称，那a＝________，b＝________．

义域是________．

5．已知函数y＝f(x)存在反函数，a是它的定义域内的任意一个值，则f-1(f(a))＝________．

(三)解答题

(1)求函数y＝f(x)的反函数y＝f-1(x)的值域；(2)若点P(1，2)是y＝f-1(x)的图像上一点，求函数y＝f(x)的值域．

3．已知函数y＝f(x)在其定义域内是增函数，且存在反函数，求证y＝f(x)的反函数y＝f-1(x)在它的定义域内也是增函数．

关于y＝x对称，求g(2)的值．

参考答案

(一)选择题

1．(C)．解：函数y=－x2(x≤0)的值域是y≤0，由y=－x2得x=

2．(D)．解：∵y=－x2－2x=－(x＋1)2，x≥0，∴函数值域y≤0，即其反函数的定义域为x≤0．

＋1，得反函数f－1(x)=(x－1)2＋1，(x≥1)．

4．(B)．解：(A)错．∵y=x2没有反函数．(B)中如两个函数互为反

5．(B)．解：(A)中．∵y=f(x)在[1，2]上是增函数．∴其反函数y=f-1(x)在[f(1)，f(2)]上是增函数，∴(A)错．(B)对．(C)中如y=f(x)=x2是偶函数但没有反函数．∴(C)错．(D)中如函数f(x)=x2＋1(x≥0)的图像与y轴有

＋1(x≤0)．选(A)．

7．(D)．解：∵点(a，b)在函数y=f(x)的图像上，∴点(b，a)必在其反函数y=f-1(x)的图像上，而a=f-1(b)，故点(b，f－1(b))在y=f-1(x)的图像上．选(D)．

8．(B)．解：∵y=f(x)的反函数是y=f-1(x)即g(x)=f-1(x)，而y=f(－x)的反函数是y=－f-1(x)=－g(x)，∴选(B)．

9．(C)．解：令t=x－1．∵x≤1，∴t≤0，f(t)=t2＋2(t≤0)，即f(x)=x2＋2(x≤0)，值域为f(x)≥2，∴反函数f-1(x)的定义域是x≥2，值域y≤0，故选(C)．

(B)．

(二)填空题

x≥3)

5．a

6．[0，2)∪(2，＋∞)

8．－2

(三)解答题

(x－1)2－2，(x≥1)，其图像如右图．

2．解(1)：∵y=f(x)的定义域是{x|x≠1，x∈R，∴y=f-1(x)的值域是{y|y≠1，y∈R}．

解(2)：∵点P(1，2)在，y=f-1(x)的图像上，点P(1，2)关于直线y=x

3．证明略．

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