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2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、填空题（每小题5分，共20分）

1．计算
____________，其中区域
由直线
与两坐标轴所围成三角形区域.

2．设
是连续函数，且满足
, 则
____________.

3．曲某某
平行平面
的切平面方程是__________.

4．设函数
由方程
确定，其中
具有二阶导数，且
，则
________________.

（5分）求极限
，其中
是给定的正整数.

三、（15分）设函数
连续，
，且
，
为常数，求
并讨论
在
处的连续性.

四、（15分）已知平面区域
，
为
的正向边界，试证：

（1）
；

（2）
.

五、（10分）已知
，
，
是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.

（10分）设抛物线
过原点.当
时,
,又已知该抛物线与
轴及直线
所围图形的面积为
.试确定
,使此图形绕
轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.

七、（15分）已知
满足
, 且
, 求函数项级数
之和.

八、（10分）求
时, 与
等价的无穷大量.

2010年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、（25分，每小题5分）

（1）设
其中
求

（2）求
。

（3）设
，求
。

（4）设函数
有二阶连续导数，
，求
。

（5）求直线
与直线
的距离。

二、（15分）设函数
在
上具有二阶导数，并且

且存在一点
，使得
。

（15分）设函数
由参数方程
所确定，其中
具有二阶导数，曲线
与
在
出相切，求函数
。

四、（15分）设
证明：

（1）当
时，级数
收敛；

（2）当
且
时，级数
发散。

五、（15分）设
是过原点、方向为
，（其中
的直线，均匀椭球

，其中（
密度为1）绕
旋转。

（1）求其转动惯量；

（2）求其转动惯量关于方向
的最大值和最小值。

六、(15分)设函数
具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线
上，曲线积分
的值为常数。

（1）设
为正向闭曲线
证明

（2）求函数
；

（3）设
是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求
。

2011年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷

计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分）

（1）.求
；

（2）.求
；

（3）已知
，求
。

二．（本题10分）求方程
的通解。

三．（本题15分）设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且
均不为0，证明：存在唯一一组实数
，使得
。

四．（本题17分）设
，其中
，
，
为
与
的交线，求椭球面
在
上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值。

五．（本题16分）已知S是空间曲线
绕y轴旋转形成的椭球面的 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 __________

设
。则
______________________

已知
。则
____________________

（本题12分）设
为正整数，计算
。

（本题14分）设函数
在
上有二阶导数，且有正常数
使得
。证明：对任意
，有
。

（本题14分）（1）设一球缺高为
，所在球半径为
。证明该球缺体积为
。球冠面积为
；（2）设球体
被平面
所截得小球缺为
，记球冠为
，方向指向球外。求第二型曲某某积分

（本题15分）设
在
上非负连续，严格单某某，且存在
，使得
。求

（本题15分）设
。求

2015年 第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、填空题（每小题6分，共5小题，满分30分）

（1）极限
.

（2）设函数
由方程
所决定，其中
具有连续偏导数，且
。则
.

（3）曲某某
在点
的切平面与曲某某所围区域的体积是 .

（4）函数
在
的傅立叶级数在
收敛的值是 .

（3）设区间
上的函数
定义域为的
，则
的初等函数表达式是 .

二、（12分）设
是以三个正半轴为母线的半圆锥面，求其方程。

三、（12分）设
在
内二次可导，且存在常数
，使得对于
，有
，则
在
内无穷次可导。

四、（14分）求幂级数
的收敛域，及其和函数。

五、（16分）设函数
在
上连续，且
。试证：

（1）
使

（2）
使

六、（16分）设
在
上有连续的二阶偏导数，且
。若

证明：
。

2016年 第八届全国大学生数学竞赛

填空题（每小题5分，满分30分）

若
在点
可导，且
，则
.

若
，
存在，求极限
.

3、设
有连续导数，且
，记
，若
，求
在
的表达式.

设
，求
，
.

求曲某某
平行于平面
的切平面方程.

二、（14分）设
在
上可导，
，且当
，
，

试证当
，
.

（14分）某物体所在的空间区域为
，密度函数为
，求质量
.

四、（14分）设函数
在闭区间
上具有连续导数，
，
，

证明：
.

（14分）设函数
在闭区间
上连续，且
，证明：在
内存在不同的两点
，使得
.

设
在
可导，且
.

用Fourier级数理论证明
为常数.

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