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年级下册的内容，正比例和反比例是刻画某一现实背景中两种相关联的量的变化规律的数学模型。从常量到变量，学生对数量关系的理解和体验经历着由静态向动态发展的过程，这是学生认识过程中的一次重大飞跃，是进一步学习函数的基础。再者，虽然正比例和反比例的知识在日常生活和生产中有着十分广泛的应用， 学生或多或少都有过接触，但这种接触往往是不经意的、非正式的，仅仅是生活经验的层次。此外，学生之前学习运算律和用字母表示数时虽然对变量也有过初步的认识，积累了一些感性经验，但真正意义上用函数的观念去探索数量之间的变化规律还是第一次。第三，正比例和反比例的相关知识，表面上看很简单，研究的都是一些学生比较熟悉的数量关系，但从本质上看，其是表示两个数量在变化过程中的一种特定关系，是非常抽象且变化着的数量关系。所有这些，都会给小学生的学习带来困难。所以，本单元的内容是整个小学数学课程体系中公认的教学难点之一。那么，怎样帮助学生克服思维障碍，正确而清晰地理解变量的概念，初步学会从变化的角度来研究两种数量之间的关系呢？以下仅结合笔者的教学实践和思考，对“正比例和反比例”单元的内涵实质、内容结构和编排特点进行简单的梳理和解读，供同行们参考。

一、内涵实质

数学是研究数量关系和空间形式的科学。正比例关系、反比例关系是最常见的数量关系，现实生活中司空见惯。有许多实际问题经常要用比例知识来解决，例如，绘制地图、购物计价、放大或缩小图形、按比例调配果汁、计算利润等。正比例和反比例的关系在本质上是函数关系，

形，其核心是“变中有不变”的数学思想。函数概念是数学中的一个基本概念，产生于近代，距今只有三百多年的历史。所谓函数，就是一个量（因变量）随着另一个量

（自变量）的变化而变化的数学模型。苏科版初中数学教材中对函数概念的描述是：一般地，在一个变化过程中的两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么我们称 y是 x的函数，x是自变量。德国天文学家、数学家开普勒曾说过，“数学就是研究千变万化中不变的关系。”而函数的核心就是“把握并刻画变化中的不变，其中变化的是过程， 不变的是规律（关系）”。

小学阶段教学正比例和反比例的关系并不出现函数的概念，只是让学生结合具体实例感知两个量之间的关系。正比例概念主要包含两层意思：第一，两种相关联的量，其中一种量变化，另一种量也随着变化；第二，两种量中相对应的两个数的比值一定。只有同时符合这两个条件，这两种相关联的量就叫做成正比例的量，它们的关系才成正比例关系。反比例概念也包含两层意思：第一，两种相关联的量，其中一种量变化，另一种量也随着变化；第二，两种量中相对应的两个数的乘积一定。只有同时符合这两个条件，这两种相关联的就叫做成反比例的量，它们的关系才成反比例关系。虽然小学数学教材中只是依据具体的实例给出了描述性定义，但也体现了函数概念的两个重要特征：一是两个变量是相互联系的，一个量的变化会引起另一个量也随之变化；二是函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，函数的值是唯一确定的。可见，由常量数学到变量数学，对学生的思维方式是很大的挑战。学好这部

关系获得更丰富、更深刻的认识和理解， 又能帮助学生锻炼用数学的眼光观察现实生活的意识，培养辩证唯物主义观点， 提高分析和解决问题的能力，感悟函数思想。同时，也能为进入初中进一步学习正比例和反比例函数，以及学习一般的函数知识打下扎实的基础。

二、内容结构

数学中有一些重要内容、思想和方法是需要学生经历较长的认识过程，逐步理解和掌握的，如分数、函数、概率、数形结合、逻辑推理、模型思想等。因此教材在呈现相应的数学内容与思想方法时，都是根据学生的年龄特征与知识积累，在遵循科学性的前提下，采用逐级递进、螺旋上升的原则。对于函数知识的教学，《课程标准（2011年版）》仅在第三学段提出了与函数有关的内容目标，希望学生能够逐渐加深对函数的理解。并且在教材编写建议中提出：依据课程内容的要求，教材可以将函数内容的学习分为三个主要阶段： 第一阶段，通过一些具体实例，让学生感受数量的变化过程，以及变化过程中变量之间的对应关系，探索其中的变化规律及基本性质，尝试根据变量的对应关系作出预测，获得函数的感性认识。第二阶段， 在感性认识的基础上，归纳概括出函数的定义，并研究具体的函数及其性质，了解研究函数的基本方法，借助函数的知识和方法解决问题等，使得学生能够在操作层面认识和理解函数。第三阶段，了解函数与其他相关数学内容之间的联系（例如， 与方程之间、不等式之间的联系），使得学生能够一般性地了解函数的概念。

可见，本单元教学内容正是上述内容划分的第一阶段。虽然在小学阶段不引入函数的概念与函数关系式，但这不等于

没有函数的初步知识、没有函数思想。从结构化学习的角度来看，本单元中“正比例和反比例”的学习是对四年级时已学的 “常见的数量关系”的延续和延伸，又是第三学段学习正比例、反比例函数的基础。与过去的教材相比，苏教版教材进一

步加强了正、反比例的概念教学，突出正比例关系的图象及其简单应用，重视正比例、反比例关系在现实生活中的应用，淡化脱离现实背景去判断正比例或反比例关系的内容，不要求应用正比例、反比例关系解决实际问题。由此，正比例和反比例概念形成中的抽象与概括，以及对“单值对应”的理解是本单元教学的重点和难点。

本单元教材编排了三道例题，具体安排如下表：

例题

教学内容

练习编排



例1

正比例的意义



练习十





例2

正比例关系的图

象及应用





例13

反比例的意义

练习十一





可以看出，教材把正比例、反比例关系分开教学，不仅注意了它们在意义上的不同，也考虑到了它们内容的相近和结构的相似，正比例概念的形成过程会对反比例概念的形成起到积极的作用。分开教学，更有利于学生建立正确而清晰的概念表象，避免不必要的干扰，更有利于正比例的学习活动经验向学习反比例迁移，从而提高学习效率。

三、编排特点

《课程标准（2011年版）》在第二学段的内容目标中对正比例、反比例的教学提出了明确的要求：通过具体情境，认识成正比例的量和成反比例的量；会根据给出的有正比例关系的数据在方格纸上画图， 并会根据其中一个量的值估计另一个量的值；能找出生活中成正比例和成反比例关系量的实例，并进行交流。鉴于以上要求，本单元教材是在学生学习了常见数量关系、比和比例，以及用字母表示数的基础上编排的。考虑到正比例和反比例概念在结构和认知过程上的相似性，教材在编排这部分内容时，都采用了慢节奏推进的策略，结合具体实例，引导学生通过具体的活动感受两种量的变化规律，并在描

述和表征变化规律的过程中初步建立正比例和反比例的概念，由此受到函数思想的熏陶。具体来说，主要有以下几方面的特点：

重视概念形成过程。

学习素材是学生开始相应内容学习的“引子”，它不仅起着引发学生学习欲望的作用，还承担着将学生生活经验、学习背景与学习主题相联结，促进学生加深理解的作用。教材呈现的学习素材十分重视概念的形成过程，让学生在充分感知两种相关联量的变化规律的基础上，理解正比例、反比例的意义。教材的例 1和例 3分别教学正比例和反比例的概念，由于两部分内容的教材结构基本相同，这里仅以正比例 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 去描述数量之间变与不变的关系，还要用文字或字母表达式去表示其关系。这样，不同的表征方式相互补充、相互映衬，对学生强化对正比例关系的理解，感受其本质是十分重要的。

本单元教学中需要关注的问题还有很多。比如，选取素材时要注意适切性。虽然生活中成正比例或成反比例关系的数量随处可见，但选材应尽量选择连续量，特别是需要用图象刻画数量关系时， 如果选择离散量，就只能描出一些等距的点。再如，要着力让学生感受变量的特点。虽然教材不涉及变量、函数等概念， 但教学中要有明确的教学函数的意识，着力让学生感受变量的含义和特点，体会数量之间“变”与“不变”的规律，从而感悟函

数思想……

（责任编辑 楚 平）



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