高等数学(下)知识点总结

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高等数学（下）知识点第八章空间解析几何与向量代数 1、二次曲面主要公式总结 x2 1） a 椭圆锥面： 2 y2 b2 z2 x 2 y 2 z2 2） a 椭球面： 2 b2 1 c2 x2 y2 z2 3） a 单叶双曲面： 2 b2 1 c2 x2 y2 4） a 椭圆抛物面： 2 b2 z x2 a 旋转椭球面： 2 x2 a 双叶双曲面： 2 y2 a2 y2 b2 x2 a 双曲抛物面（马鞍面）： 2 z2 c2 1 z2 c2 1 y2 b2 z x2 5） a 椭圆柱面： 2 y2 1 b2 x2 a 双曲柱面： 2 y2 b2 1 6） x2 抛物柱面： ay （二）平面及其方程 1、点法式方程： A ( x x0 ) B ( y y 0 ) C ( z z0 ) 0 法向量： n ( A, B, C) ，过点 ( x0 , y0 , z0 ) 2、一般式方程： Ax By Cz D 0 xyz 截距式方程： 1 abc 3、两平面的夹角： n1 ( A1, B1 ,C1 ) ， n2 ( A2 , B2 , C2 ) ， cos A1A2 B1B2 C1C2 A12 B12 C12 A22 B22 C22 1 2 A1 A2 B1 B2 C1C2 0 ； 1 // 2 A1 B1 C1 A2 B2 C2 4、点 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 到平面 Ax By Cz D 0 的距离： d Ax0 By0 Cz0 D A2 B2 C2 第 1 页共 11 页高等数学（下）知识点（三）空间直线及其方程 A1x B1 y C 1 z D 1 0 1、一般式方程： A2 x B2 y C 2z D 2 0 x x0 y y0 z z0 2、对称式（点向式）方程： m n p 方向向量： s ( m, n, p) ，过点 ( x 0 , y0 , z0 ) 3、两直线的夹角： s1 (m1 , n1, p1) ， s2 (m2 , n2 , p2 ) ， cos m1 m2 n1 n2 p1 p2 m12 n12 p12 m22 n22 p22 L1 L2 m1m2 n1n2 p1 p2 0 ； L1 // L2 4、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角， Am Bn Cp sin A2 B2 C 2 m2 n2 p2 m1 n1 p1 m2 n2 p2 L // Am Bn Cp 0 ； L A BC mn p 第九章多元函数微分法及其应用 1、连续： lim f ( x, y) ( x, y ) ( x0 , y0 ) 2、偏导数： f ( x0 , y0 ) f x( x0 , y0 ) lim f ( x0 x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) ； f y ( x0 , y0 ) x lim f ( x0 , y0 y0 y) f (x0 , y0 ) y 3、方向导数： ff cos l x f cos 其中 , y 为 l 的方向角。 4、梯度： z f ( x, y) ，则 gradf ( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 )i f y ( x0 , y0 ) j 。 z z 5、全微分：设 z f ( x, y) ，则 dz dx dy x y （一）性质 1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：第 2 页共 11 页高等数学（下）知识点 1 2 偏导数连续充分条件函数可微定义 2 必要条件 4 偏导数存在 3 函数连续 2、微分法 1）复合函数求导：链式法则若 z f (u,v),u u( x, y), v v( x, y) ，则 z zu x ux （二）应用 zv z ， vx y zu uy zv vy 1）求函数 z f (x, y) 的极值解方程组 fx 0 求出所有驻点，对于每一个驻点 ( x0 , y0 ) ，令 fy 0 A f xx (x0 , y0 ) ， B f xy (x0 , y0 ) ， C f yy ( x0 , y0 ) ， ① 若 AC B 2 0 ， A 0 ，函数有极小值，若 AC B 2 0 ， A 0 ，函数有极大值； ② 若 AC B 2 0 ，函数没有极值； ③ 若 AC B 2 0 ，不定。 2、几何应用 1）曲线的切线与法平面 x x(t) 曲线 : y y ( t ) ，则上一点 M ( x0 , y0 , z0 ) （对应参数为 t 0 ）处的 z z(t ) x x0 切线方程为： x (t0) y y0 y (t0 ) z z0 z (t0) 法平面方程为： x ( t 0 )( x x0 ) y (t0 )( y y0 ) z (t 0 )( z z0 ) 0 第 3 页共 11 页高等数学（下）知识点 2）曲面的切平面与法线曲面 : F ( x , y , z) 0 ，则上一点 M ( x0 , y0 , z0 ) 处的切平面方程为： Fx ( x0, y0, z0 )( x x0) Fy (x0 , y0 , z0)( y y0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )( z z0 ) 0 x x0 法线方程为： Fx ( x0 , y0, z0) y y0 Fy ( x0 , y0 , z0 ) z z0 Fz ( x0, y0 , z0) 第十章重积分（一）二重积分：几何意义：曲顶柱体的体积 1、定义： f ( x, y) d D 2、计算： 1）直角坐标 n lim 0 f ( k, k) k k1 1(x) y 2( x) D ( x, y) ， f ( x, y)dxdy axb D D (x, y) 1( y) x 2 ( y) ， f ( x, y)dxdy cyd D b 2 (x ) dx f ( x,y)d y a 1 ( x) d 2 (y) dy f ( x,y)d x c 1 ( y) 2）极坐标 D ( , ) 1( ) 2( ) ， f ( x, y)dxdy D 2( ) d f ( cos , sin ) d 1( ) （二）三重积分 1、定义： 2、计算： 1）直角坐标 n f ( x, y, z) d v lim 0 f ( k , k , k ) vk k1 f (x, y, z) d v z2 ( x, y) d xdy f ( x, y, z) dz D z1 ( x, y) ------------- “ 先一后二 ” b f ( x, y, z) d v d z f ( x, y, z)dxd y a DZ 2）柱面坐标 ------------- “ 先二后一 ” x cos y sin ， f (x, y, z)d v f ( cos , sin , z) d d dz zz 第 4 页共 11 页高等数学（下）知识点 3）球面坐标 x r sin cos y r sin sin z r cos f (x, y, z)d v f (r sin cos ,r sin sin , r cos )r 2 sin drd d （三）应用曲面 S : z f ( x, y) , (x, y) D 的面积： A 1 ( z)2 ( z)2 d xd y D x y 第十一章曲线积分与曲面积分（一）对弧长的曲线积分 1、定义： n f (x, y)ds L lim 0 i 1 f( i, i) si 2、计算： x (t ), 设 f ( x, y) 在曲线弧 L 上有定义且连续， L 的参数方程为 ( t ) ，其中 (t ), (t) 在 y (t ), [ , ] 上具有一阶连续导数，且 2 (t ) 2 (t ) 0 ，则 f (x, y)ds f [ (t ), (t )] 2 (t) 2 (t )dt , ( ) L （二）对坐标的曲线积分 xoy 1、定义：设 L 为面内从 A 到 B 的一条有向光滑弧，函数 P ( x, y ) ， Q ( x, y ) 在 L 上有界，定义 n n P ( x, y) d x lim L 0 P( k , k) xk ， Q ( x, y)d y L lim 0 Q ( k , k ) yk . k1 k1 向量形式： F d r L 2、计算： P(x, y)d x Q( x, y)d y L 设 P( x, y) , Q( x, y) 在有向光滑弧 L 上有定义且连续 , L 的参数方程为 x (t ), (t : y (t), ) ，其中 (t ), (t ) 在 [ , ] 上具有一阶连续导数，且 2(t ) 2 (t ) 0 ，则 P( x, y )d x Q( x, y)d y L { P[ (t ), (t)] (t) Q[ (t ), (t )] (t)} dt 第 5 页共 11 页高等数学（下）知识点 3、两类曲线积分之间的关系：设平面有向曲线弧为 x L： y (t) ， L 上点 ( x, y) 处的切向量的方向角为： (t) cos (t ) ， cos 2(t) 2(t) (t ) ， 2(t) 2 (t) 则 Pdx Qdy (P cos Q cos )ds . L L ,，（三）格林公式 1、格林公式：设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成，函数 P(x, y ) ,Q( x, y) 在 D 上具有连续一阶偏导数 , Q 则有 Dx P d xd y Pd x Qdy y L 2、 G 为一个单连通区域，函数 P(x, y) ,Q( x, y) 在 G 上具有连续一阶偏导数， QP 则 xy 曲线积分 Pdx Qdy 在 G 内与路径无关 L （四）对面积的曲面积分 1、定义：设为光滑曲面，函数 f ( x, y, z) 是定义在上的一个有界函数， n 定义 f ( x, y, z) dS lim f ( i , i , i ) Si 0 i1 2、计算：———“ 一单二投三代入 ” : z z( x, y) ， ( x, y) D xy ，则 f (x, y, z) dS f [ x, y, z( x, y)] 1 Dx y zx2 ( x, y) zy 2 ( x, y) dxd y （五）对坐标的曲面积分 1、定义：设为有向光滑曲面，函数 P( x, y, z), Q(x, y, z), R( x, y, z) 是定义在上的有界函数，定义 n R(x, y, z)d xdy lim 0 R( i , i , i )( Si ) xy 同理， i1 n P(x, y, z)d ydz lim 0 P( i , i , i )( Si ) yz ； i1 n Q( x, y, z)d zdx lim 0 R( i , i , i )( Si )zx i1 第 6 页共 11 页 2、性质： 1） 1 2 ，则高等数学（下）知识点 Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rd xdy 1 Pdydz Qdzdx Rd xdy 2 计算：——“ 一投二代三定号 ” : z z( x, y) ， ( x, y) D xy ， z z( x, y) 在 D xy 上具有一阶连续偏导数， R(x, y, z) 在上连续，则 R(x, y, z)d xdy R[ x, y, z(x, y)]dxdy , Dx y 3、两类曲面积分之间的关系：为上侧取“ + ”，为下侧取“ - ”. Pd yd z Q dzd x Rd xd y Pcos Qcos Rcos d S 其中 , , 为有向曲面在点 ( x, y, z) 处的法向量的方向角。（六）高斯公式 1、高斯公式：设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成 , 的方向取外侧 , 函数 P, Q, R 在上有连续的一阶偏导数 , 则有 PQR d xd y d z xyz P d y d z Q d z d x Rdx d y 或 P Q R dxd ydz Pcos Qcos xyz 2、通量与散度通量：向量场 A (P, Q, R) 通过曲面指定侧的通量为： Rcos d S Pd yd z Qdzdx Rdxd y PQR 散度： divA xyz （七）斯托克斯公式 1、斯托克斯公式：设光滑曲面的边界是分段光滑曲线, 的侧与 P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z) 在包含在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数 , 则有的正向符合右手法则, R Q d ydz yz P R d zd x zx 为便于记忆 , 斯托克斯公式还可写作 : Q P dxd y xy d yd z d zd x d x d y x y z P Q R P d x Q d y Rd z 第 7 页共 11 页 Pd x Qd y Rd z 高等数学（下）知识点 2、环流量与旋度环流量：向量场 A ( P,Q, R) 沿着有向闭曲线的环流量为 Pd x Qd y Rd z 旋度： rot A R Q P RQ P , , y zzxx y 第十二章无穷级数（一）常数项级数 1、定义： 1）无穷级数： un u1 u2 u3 n1 部分和： Sn n uk k1 u1 u2 u3 正项级数： un ， un 0 n1 交错级数： ( 1) n un ， un 0 n1 un un ， 2）级数收敛：若 lim Sn n S 存在，则称级数 u n 收敛，否则称级数 un 发散 n1 n1 3）条件收敛： un 收敛，而 un 发散； n1 n1 绝对收敛： un 收敛。 n1 2、性质： 1）改变有限项不影响级数的收敛性； 2）级数 an ， bn 收敛，则 (an bn ) 收敛； n1 n1 n1 3）级数 an 收敛，则任意加括号后仍然收敛； n1 4）必要条件：级数 un 收敛 n1 lim n un 0 . （注意：不是充分条件！） 3、审敛法正项级数： un ， un 0 n1 第 8 页共 11 页高等数学（下）知识点 1）定义： lim n Sn S 存在； 2） u n 收敛 n1 Sn 有界； 3）比较审敛法： un ， u vn 为正项级数，且 n vn (n 1,2,3, ) n1 n1 若 vn 收敛，则 u n 收敛；若 u n 发散，则 vn 发散 . n1 n1 n1 n1 4）比较法的推论： m n m un ， vn 为正项级数，若存在正整数，当时，u n kvn ，而 vn 收敛，则 un n1 n1 n1 n1 m n 收敛；若存在正整数，当 m 时， un kvn ，而 vn 发散，则 un 发散 . n1 n1 5）比较法的极限形式： un ， vn 为正项级数，若 n1 n1 lim un n vn l (0 l ) ，而 v n 收敛，则 un 收敛；若 n1 n1 lim un n vn 0 或 lim un n vn ，而 vn 发散，则 u n 发散 . n1 n1 6）比值法： un 为正项级数，设 n1 lim un 1 n un l ，则当 l 1 l 时，级数 un 收敛；则当 n1 1 时，级数 un 发散； n1 当 l 1 时，级数 un 可能收敛也可能发散 . n1 7）根值法： un 为正项级数，设 lim n n un l ，则当 l 1 时，级数 un 收敛；则当 l 1 时，级数 un 发散；当 l 1 n1 n1 n1 时，级数 un 可能收敛也可能发散 . n1 8）极限审敛法： un 为正项级数，若 lim n n un n1 0 或 lim n n un ，则级数 un 发散；若存在 p 1，使得 n1 lim n p n un l (0 l ) ，则级数 un 收敛 . n1 交错级数：莱布尼茨审敛法：交错级数： ( 1)n un ， un n1 任意项级数： 0 满足： un 1 un (n 1,2,3, ) ，且 lim un n 0 ，则级数 ( 1) nu n 收敛。 n1 un 绝对收敛，则 un 收敛。 n1 n1 第 9 页共 11 页高等数学（下）知识点常见典型级数：几何级数： aq n n0 （二）函数项级数收敛， q 1 发散， q 1 ； p - 级数： 1 n 1 np 1、定义：函数项级数 un ( x) ，收敛域，收敛半径，和函数； n1 2、幂级数： an xn n0 1 ,0 收敛， p 1 发散， p 1 3、收敛半径的求法： lim an 1 n an ，则收敛半径 R 0, , 0 4、泰勒级数 f (x) f (n)( x0 ) ( x x0) n n 0 n! lim n Rn ( x) f (n 1) ( ) lim (x n (n 1)! x0) n 1 0 展开步骤：（直接展开法） 1）求出 f (n) ( x), n 1,2,3, ； 2）求出 f (n ) ( x0 ), n 0,1,2, ； ( n) 3）写出 f ( x0 ) ( x n 0 n! x0 )n ； 4）验证 lim Rn( x) f (n 1) ( ) lim (x x0 ) n 1 0 是否成立。 n n (n 1)! 间接展开法：（利用已知函内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 cosnx bn sin nx) 2 n1 [ , ] 上积 1 an 系数： 1 bn f ( x) cosnx dx (n 0, 1, 2, ) f ( x) sinnxd x (n 1, 2, 3, ) 2）收敛定理： ( 展开定理 ) 设 f ( x) 是周期为 2 的周期函数 , 并满足狄利克雷 ( Dirichlet ) 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点 ; 2) 在一个周期内只有有限个极值点 , 则 f ( x) 的傅里叶级数收敛 , 且有条件 : a0 2 an cosnx n1 bn sin nx 3）傅里叶展开： f (x), x为连续点 f (x ) f (x ) , x为间断点 2 1 an ①求出系数： 1 bn f ( x) cosnx dx (n 0 , 1, 2, ) ； f ( x) sin nx d x (n 1, 2 , 3, ) ②写出傅里叶级数 f (x ) a0 (an cosnx bn sin nx) ； 2 n1 ③根据收敛定理判定收敛性。第 11 页共 11 页 [文章尾部最后500字内容到此结束,中间部分内容请查看底下的图片预览]请点击下方选择您需要的文档下载。

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