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2020年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）

数学

本试卷共5页，150分，考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合

，则

A.
B.
C.
D.

2．在复平面内，复数z对应的点的坐标是（1,2），则

A.
B.
C.
D.

3．在
的展开式中，
的系数为

A.-5 B.5 C.-10 D.10

4．某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为

A.

B.

C.

D.

5．已知半径为1的圆经过点
，则其圆心到原点的距离的最小值为

(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7

6．已知函数
，则不等式
的解集是

(A)
(B)

(C)
(D)

7．设抛物线的顶点为
，焦点为
，准线为
，
是抛物线上异于
的一点，过
作
于
，则线段
的垂直平分线

(A) 经过点
(B) 经过点

(C) 平行于某某
(D) 垂直于某某

8．在等差数列
中，
=-9，
=-1，记
,则数列

（A）有最大项，有最小项 （B）有最大项，无最小项

（C）无最大项，有最小项 （D）无最大项，无最小项

9．已知
，则“存在
使得
”是“
”的

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

10．2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day）.历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔·卡西的方法是:当正整数
充分大时，计算单位圆的内接正
边形的周长和外切正
边形（各边均与圆相切的正
边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值，按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是

（A）
（B）

（C）
（D）

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11．函数
的定义域是_________.

12．已知双曲线
，则
的右焦点的坐标为_________:
的焦点到其渐近线的距离是_________.

13．已知正方形
的边长为2，点
满足
，则
=_________；
=_________.

14．若函数
的最大值为2，则常数
的一个取值为_________.

15．为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量
与时间
的关系为
，用
的大小评价在
这段时间内企业污水治理能力的强弱。已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.

给出下列四个结论：

在
这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

在
时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

在
时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；

甲企业在
,
,
这三段时间中，在
的污水治理能力最强.

其中所有正确结论的序号是______.

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16．(本小题13分)

如图，在正方体
中，
为
的中点，

(Ⅰ)求证:
平面
；

(Ⅱ)求直线
与平面
所成角的正弦值。

17．(本小题13分)

在
中，
, 再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知， 求:

(I) a的值；

(II)
和
的面积.

条 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 2的切线方程；

（Ⅱ）设曲线
在点
处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为
，求
的最小值.

20．（本小题15分）

已知椭圆
过点
，且
。

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）过点
的直线
交椭圆
于点
，
，直线
，
分别交直线
于点
，
.求
的值.

21.（本小题15分）

已知
是无穷数列，给出两个性质：

①对于
中任意两项
，在
中都存在一项
，使得
；

②对于
中任意一项
，在
中都存在两项
，使得
.

（Ⅰ）若
，判断数列
是否满足性质①，说明理由；

（Ⅱ）若
，判断数列
是否同时满足性质①和性质②，说明理由；

（Ⅲ）若
是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：
为等比数列.

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